Soruyu Adım Adım Çözelim:
Verilen Bilgiler:
- Arsaya yapılacak eş büyüklükte evlerin her biri eşit büyüklükte alan işgal ediyor.
- Arsada toplam 15 ev yapılmıştır ve her bir evin payına 40 m² düşmüştür.
- Şimdi her bir ev için 60 m² bahçe düşmesi isteniyor.
Sonuç olarak:
Bu arsaya kaç adet ev yapılabilir?
1. Mevcut Arsayı Hesaplama
Toplamda 15 ev bulunuyor ve her bir ev için 40 m² pay var:
2. Her Ev için 60 m² Bahçeyi Dahil Etmek
Eğer her ev için 60 m² bahçe alanı ekleniyorsa:
Bir ev artık 100 m² alan işgal ediyor.
3. Arsaya Sığacak Ev Sayısını Hesaplama
Toplam 600 m² alanda kaç adet ev yapılabileceğini bulmak için:
Sonuç:
Bu arsaya eş büyüklükte ve her biri 60 m² bahçeli olmak üzere toplamda 6 adet ev yapılabilir.
Not: İşlem açıklamaları detaylı şekilde gösterilmiş olup, yapılandırma gerektiğinde talep edebilirsiniz.
@username
Bir araziye yapılacak eş büyüklükteki evlerin sayısı ile her bir evin payına düşen bahçe alanı ters orantılıdır. Bu araziye bu büyüklükte 15 adet ev yapıldığında, her bir evin payına 40 m² bahçe düşmektedir. Buna göre, her bir evin payına 60 m² bahçe düşmesi için bu araziye kaç adet ev yapılmalıdır?
Answer:
- Ters orantıda (ev sayısı) × (bir evin payına düşen alan) = sabit bir çarpım (k) şeklindedir.
- Verilen bilgilere göre:
15 ev × 40 m² = 600
Bu çarpım (k) sabittir ve 600’e eşittir. - Her evin payına 60 m² düşmesi isteniyor:
(İnşa edilecek ev sayısı) × 60 = 600 - Buradan “(İnşa edilecek ev sayısı)” = 600 ÷ 60 = 10 bulunur.
Dolayısıyla bahçe alanının 60 m² olması için araziye en çok 10 adet ev yapılmalıdır.
@User
Bir araziye yapılacak eş büyüklükteki evlerin sayısı ve her bir evin payına düşen bahçe alanı arasındaki ters orantı problemi nasıl çözülür?
Cevap:
Elde ettiğimiz verilere göre, “ev sayısı” ile “her bir evin payına düşen bahçe alanı” ters orantılıdır. Matematikte ters orantı (inverse proportion), iki nicelikten biri artarken diğerinin aynı oranda azalması anlamına gelir. Bir başka deyişle, birinci nicelik ile ikinci niceliğin çarpımı sabittir. Bu problemin çözüm adımlarını detaylıca görelim.
Ters Orantı Kavramı
Ters orantı, iki değişkenin çarpımının sabit (değişmeyen) bir sayıya eşit olması durumudur. Bu problemi formülle ifade edersek:
Bu sabit değer her zaman aynı olduğu için, iki farklı durum olduğunda şöyle yazabiliriz:
Burada:
- n_1: Birinci durumda ev sayısı
- A_1: Birinci durumda her eve düşen bahçe alanı
- n_2: İkinci durumda ev sayısı
- A_2: İkinci durumda her eve düşen bahçe alanı
Eğer gerçekten de ters orantı ilişkisi varsa, n_1 \times A_1 değeri, n_2 \times A_2 değerine eşittir ve bu iki durum arasında daima bir sabit bulunur.
Problemin Verileri
- Eş büyüklükte 15 adet ev yapıldığında, her evin payına 40 m² bahçe düşmektedir.
- Aynı arazi üzerinde, her eve 60 m² bahçe alanı düşmesini istiyoruz.
Soru: Her bir evin payına 60 m² düşmesi için araziye eş büyüklükte kaç adet ev yapılmalıdır?
Adım Adım Çözüm
1. Toplam Bahçe Alanını Belirleme
Öncelikle, 15 ev yapıldığında her evin payına 40 m² düştüğünü biliyoruz. Bu orantı bize arazinin tamamının ne kadarlık bir “bahçe alanı” oluşturduğunu gösteriyor. Ters orantı bize aslında “toplam bahçe alanı” dediğimiz bir değerin sabit olduğunu söylüyor.
- Birinci durumda, ev sayısı = 15
- Birinci durumda, bir eve düşen bahçe alanı = 40 m²
Ters orantı gereği bu iki sayının çarpımı bize bir sabit verir:
Bu 600 sayısı, toplam kullanılabilecek “bahçe metrekare miktarını” temsil eder.
2. İkinci Durumu Kurma
Şimdi, istenen durumda her eve 60 m² bahçe düşmesi talep ediliyor. Buna göre, yapılacak evlerin sayısını bilemiyoruz; bu sayıya n diyelim. Ters orantı ilkesine göre:
3. Bilinmeyen Değeri Bulma
Bu simple denklemde, her bir ev 60 m² alacak ve toplam alan yine 600 m² olduğu için:
Yani, her bir evi 60 m² alana kavuşturmak için, arazi üzerinde 10 adet ev yapılmalıdır.
Detaylı Açıklama ve Ters Orantının Mantığı
Ters orantı, gündelik hayatta birçok farklı alanda karşımıza çıkar. Örneğin, bir projenin yapılma süresi ve işçi sayısı çoğunlukla ters orantılıdır: Daha fazla işçi olduğunda proje daha kısa sürede tamamlanır. Burada ise ev sayısı çoğaldıkça her eve düşen alan azalmak zorundadır; çünkü toplam alan sabittir. Aksine, ev sayısını azaltırsak her evin payına düşen alan doğal olarak artacaktır. Bu problemde de 15 evde 40 m² alan düşerken, 10 ev yaptığımızda pay 60 m²’ye yükselir.
Ters orantıda genellikle formülü şöyle hatırlıyoruz:
Bu “sabit” değer, değişmeyen toplam bahçeyi (bu problemde 600 m²) sembolize eder.
- Ev sayısı arttığında, her eve düşen pay azalmak zorundadır.
- Ev sayısı azaldığında, her eve düşen pay artar.
İpuçları ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
- Bu tip sorularda orantının ters mi yoksa doğru mu olduğu iyi anlaşılmalıdır.
- Eğer “x artarsa y de artıyor” ise doğru orantı, “x artarsa y azalıyor” ise ters orantı söz konusudur.
- Soruda “ters orantılıdır” şeklinde açıkça belirtilir. Eğer belirtilmiyorsa, problem cümlelerinden mantık yürüterek karar vermek gerekir.
- Birinci durumdaki çarpımın ikinci durumdaki çarpıma eşit olması, çarpım yönteminin pratik açıdan kolay bir yoludur.
Çözümün Adımları İçin Tablo
Aşağıdaki tabloda adım adım hangi işlem yapıldığını ve kullanılan formülleri özetleyebilirsiniz:
| Adım | İşlem Açıklaması | Matematiksel Gösterim | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1. Bilinen Değerleri Tanım | Ev sayısı (15) ve bir eve düşen alan (40 m²) verildi. | n_1 = 15,\ A_1 = 40 | - |
| 2. Çarpım (Sabit) Bulma | Ters orantı olduğundan n_1 \times A_1 sabittir. | 15 \times 40 = 600 | Toplam bahçe alanı = 600 |
| 3. İstenen Durumu Kurma | Bir eve 60 m² pay düşecek şekilde ev sayısına n_2 diyelim. | n_2 \times 60 = 600 | - |
| 4. Bilinmeyeni Hesaplama | Bu denklemi çözerek n_2 elde edilir. | n_2 = \frac{600}{60} = 10 | Cevap: 10 ev |
Tabloda görüldüğü gibi, ilk adımda sabit çarpım 600 olarak bulunur; ikinci adımda ise yeni durumda ev başına 60 m² isteniyorsa, ev sayısının 10 olması gerektiği ortaya çıkar.
Matematiksel Doğrulama ve Ek Örnek
- Doğrulama: Sonuç doğru mu diye kontrol etmek için, 10 evi her biri 60 m² pay alacak şekilde çarparsak 600 m² elde ederiz. Bu değer, ilk durumda hesaplanan toplam 600 m² ile uyum içindedir.
- Ek Örnek: Ters orantıya benzer bir mekaniği, 12 işçi 10 günde bir işi bitiriyorken, bu işin 15 işçiyle kaç günde biteceğini hesaplamakta da kullanırız. Orada da 12×10 = 120, 15×g = 120 => g=8 gibi bir sonuç bulunur.
Sonuç ve Özet
Problem Özeti: Bir arazi var ve eş büyüklükteki evler yapılacak. 15 ev yapıldığında her ev 40 m² bahçeye sahip oluyor. Soru, her evin 60 m² pay alabilmesi için kaç ev yapılması gerektiğini bulmak. “Ters orantı” kavramını kullanarak, ev sayısı ile her evin payına düşen bahçe alanının çarpımının sabit olduğunu biliyoruz. İlk durumda çarpım 15 \times 40 = 600 olarak bulunur. Yeni durumda her ev 60 m² alacağı için n \times 60 = 600 denklemi yazılır. Böylece n = 10 sonucu elde edilir. Yani 10 adet ev yapılmalıdır.
Bu cevap, matematiksel olarak ters orantının basit bir uygulamasıdır. Her zaman olduğu gibi, benzer soruları çözerken de önce tabanda yatan orantı türünü (doğru veya ters) tespit eder, sonra ilk durumdan sabit değeri (veya oranı) buluruz. Ardından istenen ikinci durum için denklem kurarak cevaba ulaşırız.