Sorunuzdaki şekle ve bilgiye göre çözüm için yardımcı olabilirim. Ancak ne yazık ki, metin tam net görünmüyor. Eğer soruda eksik veya çözülmesi gereken bir matematiksel ifade veya problem varsa, aşağıdaki adımları takip edebilirim:
-
Soruda geçen bilgiler:
Eğer belirli bir şekil veya durumdan bahsediliyorsa, bu durum hakkında daha fazla açıklama yapabilirsiniz. -
Yapılması gereken:
Eğer bu bir problem çözümü, eşitlik oluşturma, ya da başka bir çözüm gerektiriyorsa, ne yapılması gerektiğini özellikle belirtin.
Lütfen sorunun açıklamasını ya da belirli bir kısmını buraya yazabilirseniz, size etkili bir yardımda bulunabilirim. 
@sorumatikbot
Sorunuz tam olarak anlaşılmıyor. Lütfen resimdeki metni veya soruyu metin halinde paylaşabilir misiniz? Metni yazılı olarak paylaşırsanız size daha iyi yardımcı olabiliriz. Ortalama bir ortaokul soru formatına göre, gerekli bilgileri (örneğin konuyu, hangi dersten olduğunu, sorunun tam ifadesini ve varsa rakamsal/verisel verileri) net bir şekilde öğrenmemiz gerekir. Böylece aşama aşama çözümler, örnekler veya açıklamalar sunabiliriz.
Answer:
Sorunuza tam yanıt verebilmemiz için lütfen fotoğraftaki soruyu ya da metni okuyabileceğimiz şekilde buraya yazınız. Metni paylaştıktan sonra, konuyu ayrıntılı olarak ele alabilir, hangi derse veya üniteye ait olduğunu (Türkçe, matematik, fen vb.) belirtir ve ayrıntılı çözümler sunarız.
@User
6. Soru: Ters Orantı Problemi
Bir araziye yapılacak eş büyüklükteki ev sayısı ile her bir eve düşen bahçe alanı ters orantılıdır. Verilen bilgilere göre:
- 15 adet ev yapıldığında, her eve düşen bahçe alanı 40 m²’dir.
- Yeni durumda, her eve düşen bahçe alanının 60 m² olması istenmektedir.
- Soru: Bu yeni durumda aynı araziye kaç adet eş büyüklükte ev yapılmalıdır?
Cevap
1. Ters Orantı Kavramı
Ters orantı, iki nicelik arasındaki ilişkiyi ifade eden bir kavramdır. Eğer x ve y değişkenleri ters orantılı ise, matematiksel olarak
şeklinde sabit bir k değerine eşit olur. Yani bir değişken büyürken diğeri küçülür, bir değişken küçülürken diğeri büyür.
Bu problemde:
- n = ev sayısı
- A = her bir evin payına düşen bahçe alanı
Ters orantı şu şekilde ifade edilir:
2. Verilen Bilgilerin Uygulanması
-
İlk durum: 15 ev → her evin bahçe alanı 40 m²
- Bu durumda k = 15 \times 40 = 600
- Yani, ters orantıyı sağlayan sabit değer k=600 olarak bulunur.
-
İkinci durum: her evin bahçe alanı 60 m² olsun
- Ev sayısına n diyelim.
- Ters orantı gereği n \times 60 = 600
- Buradan ev sayısı n = \frac{600}{60} = 10 olarak bulunur.
Dolayısıyla her bir evin payına 60 m² bahçe düşmesi isteniyorsa, bu araziye 10 adet eş büyüklükte ev yapılmalıdır.
Adım Adım Çözüm
Aşağıda, problemin daha detaylı bir şekilde nasıl çözüldüğü adım adım açıklanmıştır:
Adım 1 – Değişkenleri Tanımlama
- Ev sayısı (n): Arazide inşa edilecek eş büyüklükte evlerin toplam sayısı.
- Bahçe Alanı (A): Her bir evin payına düşen bahçe alanı (m² cinsinden).
Adım 2 – Ters Orantı Eşitliği
İki nicelik ters orantılıysa birinin artmasıyla diğeri azalır. Bu durum
formülüyle ifade edilir. Burada k sabit bir değerdir.
Adım 3 – İlk Durumu Kullarak Sabiti Hesaplama
Soruda ilk verilen koşullar:
- Ev sayısı n_1 = 15
- Bahçe alanı A_1 = 40~\text{m}^2
Bu durumda:
Bu 600 değeri k (sabit) olarak adlandırılır ve ikinci durumu çözmede kullanılır.
Adım 4 – İstenen Koşul
Her bir eve düşen bahçe alanı A_2 = 60~\text{m}^2 olsun. Yeni ev sayısını n_2 olarak tanımlayalım. Ters orantı gereği:
Bu denklemden,
Adım 5 – Sonuç
Yeni durumda arazide 10 adet eş büyüklükte ev inşa edilmesi hâlinde, her bir evin payına 60 m² bahçe düşer.
Örneklerle Derinleşme
Ters orantı, gündelik hayatta farklı durumlarda da karşımıza çıkar:
- Hız ve Yolculuk Süresi: Araç daha hızlı giderse, aynı mesafe daha kısa sürede kat edilir. (Hız arttıkça süre azalır.)
- Su Dolumu: Depoyu dolduran musluk sayısı artarsa, depo daha kısa sürede dolar.
Burada da ev sayısı arttığında, arazi sabit olduğu için her evin payına düşen bahçe alanı azalır. Tersine, ev sayısı azaldığında bahçe alanı artar.
Özet Tablo
| Değişken | Değer (İlk Durum) | Değer (İstenen Durum) | Açıklama |
|---|---|---|---|
| Ev Sayısı (n) | 15 | 10 | 15 → 10 (her bir evin bahçe payı artsın diye ev sayısı azalıyor) |
| Bahçe Alanı (A) | 40 m² | 60 m² | 40 m² → 60 m² (ev sayısı azaldığı için her bir evin bahçe alanı büyür) |
| Sabit (k) | 600 | 600 | k = n \times A (ters orantı sabiti, değişmez) |
Konuyla İlgili Ek Bilgiler
-
Ters Orantı Formülü
- Açıklama: İki değer (örneğin x ve y), x \times y = k formülüyle birbirine bağlanıyorsa “birbiriyle ters orantılı” denir.
- Avantajı: Hemen her örnekte k sabiti, birinci durumun bilgileriyle hesaplanarak ikinci ve diğer durumlara kolayca uyarlanır.
-
Matematiksel Anlamı
- Bir niceliği 2 katına çıkarırsanız, ona ters orantılı olan değer 2 kat azalır ki toplam sabit kalsın. Buradaki problemde 15’ten 10’a inmek, bahçe alanından (40’tan 60’a) yükselmeyi sağlıyor.
-
Gerçek Hayatta Uygulama Alanları
- Kent planlama: Mevcut arsa büyüklüğü sabitken daha az sayıda ev yapmak, her evin payına daha geniş yeşil veya bahçe alanı alınmasını sağlar.
- İnşaat sektörü: Çok katlı ve çok konutlu projeler yerine az katlı ve geniş bahçeli projeler, birim konuta düşen arazi miktarıyla ilişkilidir.
Geniş Değerlendirme ve Sonuç
Bu problemin kilit noktası, ev sayısı ile bir eve düşen bahçe alanı arasındaki ters orantıyı kavramaktır. Ters orantıda bir değerin artması diğerinin azalmasına yol açar. Sorunun çözümü için ilk olarak sabit değeri (k) bulduk; ardından istenen bahçe alanı verildiğinde, bu kez ters orantı sabitini kullanarak yeni ev sayısını hesapladık. Elde ettiğimiz sonuç, 60 m² bahçe alanı düşmesi için 10 adet ev yapılması gerektiğidir.
Bu sayede, tek bir arsanın üzerine farklı sayıda ev inşa edildiğinde, her ev için ayrılabilecek bahçe alanının nasıl değişeceğini ters orantı formülüyle kolayca hesaplayabiliriz.
Kaynaklar:
- MEB (Milli Eğitim Bakanlığı) Ortaokul Matematik Ders Kitapları, Ters Orantı Konusu.
- Açık Kaynak Matematik Platformları (2023).