Şekilde yarıçap uzunluğu 2 birim olan bir çemberin üzerinde eşit aralıklarla biri mavi diğerleri kırmızı olan 6 nokta işaretleniyor. Daha sonra mavi noktadan kırmızı noktalara 5 farklı kiriş çiziliyor. Buna göre, çizilen kirişlerle ilgili olarak I. en uzun kirişin uzunluğu 4 birimdir. II. en kısa kirişin uzunluğu 2 birimdir. III. uzunluklarının toplamı 8 + 4√3 birimdir. ifadelerinden hangileri doğrudur?
Çözüm:
Verilen çemberde, yarıçap uzunluğu 2 birimdir. Eşit aralıklarla yerleştirilen toplam 6 nokta vardır.
-
En uzun kirişin uzunluğu:
Çemberin içindeki en uzun kiriş bir çaptır. Çap, iki kat yarıçaptır:\text{Çap} = 2 \times 2 = 4 \text{ birim}Dolayısıyla, I ifadesi doğrudur.
-
En kısa kirişin uzunluğu:
En kısa kiriş, birbirine komşu olan iki nokta arasındaki kiriş olacaktır.Çember 360 derece olduğunda bir çemberdeki her nokta arası açı 60 derece olacaktır (360° / 6 = 60°).
Komşu noktalar arasındaki kiriş:
\text{Kiriş} = 2 \times R \times \sin\left(\frac{60°}{2}\right)= 2 \times 2 \times \sin(30°) = 2 \times 2 \times \frac{1}{2} = 2 \text{ birim}Dolayısıyla, II ifadesi doğrudur.
-
Kiriş uzunluklarının toplamı:
Kirişlerin hesaplanması:-
Komşu 2 noktadan biri mavi, bir diğeri kırmızı nokta olan 2 kiriş (60° aralıklı kirişler): Her biri 2 birimdir.
Toplam: 2 \times 2 = 4 \text{ birim}. -
İkincil dereceden yakın olan kirişler (120° aralıklı kirişler): 2 \times 2 \times \sin(60°)
= 2 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}Bu tür 2 kiriş vardır: Toplam: 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ birim}.
-
En uzun kiriş (çap): 4 birim.
Toplam: 4 + 4\sqrt{3} \text{ birim}.
Toplam:
4 \text{ birim} + 4\sqrt{3} \text{ birim} = 8 + 4\sqrt{3} \text{ birim}Dolayısıyla, III ifadesi doğrudur.
-
Sonuç:
Verilen ifadelerin hepsi doğrudur.
Doğru Seçenek: E) I, II ve III