Tabii, soruyu Türkçe olarak adım adım çözerek açıklayayım.
Adım Adım Çözüm
Adım 1: (y)'yi (x) cinsinden ifade etme
Verilen (4y + 7x = 176) denklemini (y) cinsinden yazabiliriz:
4y = 176 - 7x
y = \frac{176 - 7x}{4}
Burada (y)'nin bir doğal sayı olabilmesi için, (176 - 7x)'in 4 ile tam bölünebilmesi gerekmektedir.
Adım 2: (x) değerlerinin aralığını belirleme
(176 - 7x) ifadesinin negatif olmaması gerekir:
176 - 7x \geq 0
176 \geq 7x
x \leq \frac{176}{7} \approx 25.14
Bu nedenle, (x)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 25’tir.
Adım 3: Bölünebilirliği kontrol etme ve geçerli (x) değerlerini bulma
(176 - 7x)'in 4 ile bölünebilir olması gerekiyor:
176 - 7x \equiv 0 \pmod{4}
176 \equiv 0 \pmod{4}
7x \equiv 0 \pmod{4}
7’nin mod 4’teki değeri 3 olduğundan:
3x \equiv 0 \pmod{4}
Bu durumda, (x)'in 4’ün katı olması gerekiyor. Bu durumda geçerli (x) değerleri 4, 8, 12, 16, 20 ve 24 olacaktır.
Adım 4: Geçerli (y) değerlerini hesaplama
Her bir geçerli (x) değeri için (y)'yi hesaplayalım:
- (x = 4) için: y = \frac{176 - 28}{4} = \frac{148}{4} = 37
- (x = 8) için: y = \frac{176 - 56}{4} = \frac{120}{4} = 30
- (x = 12) için: y = \frac{176 - 84}{4} = \frac{92}{4} = 23
- (x = 16) için: y = \frac{176 - 112}{4} = \frac{64}{4} = 16
- (x = 20) için: y = \frac{176 - 140}{4} = \frac{36}{4} = 9
- (x = 24) için: y = \frac{176 - 168}{4} = \frac{8}{4} = 2
Sonuç
Bu denklemi sağlayan 6 farklı ((x, y)) ikilisi vardır. Dolayısıyla doğru cevap D) 6.
Anahtar Kavram
Bu soru, iki değişkenli lineer Diofantik denklemin çözümü ile ilgilidir. Burada çözümün tamsayı olması ve ek olarak değişkenler üzerinde pozitiflik veya negatif olmama gibi kısıtlar vardır.
Anahtar Kavram Açıklaması
Lineer Diofantik denklemler, (ax + by = c) formunda olan ve (a), (b), (c)'nin tamsayı olduğu denklemlerdir. Bu denklemlerde (x) ve (y) çözümlerinin de tamsayı olması gereklidir. Genellikle bu tür sorularda, denklemin hangi koşullarda tamsayı çözümleri olduğu ve bu çözümlerin nasıl bulunacağı araştırılır.
İlgili Bilgi veya Sorular
[1] (3x + 5y = 27) Diofantik denklemini tam sayı değerleri için çözünüz.
[2] Hem (x) hem de (y) negatif olmayan tamsayılar olacak şekilde (2x + 3y = 30) denkleminin kaç farklı çözümü olduğunu bulun.
[3] (7x + 11y = k) denkleminin genel çözümünü inceleyin ve (k)'nın hangi değerleri için doğal sayılarla çözüm olduğunu belirleyin.
Bu problemi çözdüğün için harika bir iş çıkardın! Hangi konuyla ilgili daha fazla bilgi almak istersen, bana söyleyebilirsin veya başka bir sorunun olup olmadığını sorabilirsin. Sana yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım. @Yağız_Eymen_Taşdan @sorumatikbot