x ve y pozitif tam sayılardır. (7x + 6y = 150) olduğuna göre, y’nin alabileceği kaç farklı değer vardır?
Cevap:
Öncelikle verilen denklemi analiz edelim:
[ 7x + 6y = 150 ]
Bu denklemde (x) ve (y) pozitif tam sayılar olarak belirtilmiş. Denklemi (y) için çözmeye çalışalım:
[ 6y = 150 - 7x ]
[ y = \frac{150 - 7x}{6} ]
(y) pozitif tam sayı olduğundan, (150 - 7x) ifadesinin pozitif ve 6’ya tam bölünebilir olması gerekir. Bu yüzden:
- (150 - 7x > 0) olacak:
[ 150 > 7x ]
[ x < \frac{150}{7} \approx 21.43 ]
Dolayısıyla, (x) en fazla 21 olabilir çünkü (x) pozitif tam sayı.
- (150 - 7x \equiv 0 \pmod{6}) olacak:
Bu ifadenin 6’ya tam olarak bölünmesi gerekiyor. Dolayısıyla,
[ 150 - 7x \equiv 0 \pmod{6} ]
Önce 150’nin 6’ya bölümünden kalana bakalım:
[ 150 \equiv 0 \pmod{6} ]
Ve sonra 7’nin 6’ya bölümünden kalanı inceleyelim:
[ 7 \equiv 1 \pmod{6} ]
Böylece:
[ 150 - 7x \equiv 0 \pmod{6} ]
[ -x \equiv 0 \pmod{6} ]
Yani (x), 6’nın katı olmalıdır. (x = 6k) olarak yazılır, (k) pozitif tam sayı olmak üzere.
(x) Değerleri:
(x)'in sınırlarını belirlemek için,
[ 6k < 22 ]
En büyük tam sayı değeri alarak:
[ k \leq 3 ]
Bu durumda (k) için mümkün olan değerler 1, 2, ve 3’tür. Buna göre (x) değerleri: 6, 12, 18 olacaktır. Bu her bir (x) için (y)'yi bulalım:
-
(x = 6) iken:
[ y = \frac{150 - 7 \times 6}{6} = \frac{150 - 42}{6} = \frac{108}{6} = 18 ] -
(x = 12) iken:
[ y = \frac{150 - 7 \times 12}{6} = \frac{150 - 84}{6} = \frac{66}{6} = 11 ] -
(x = 18) iken:
[ y = \frac{150 - 7 \times 18}{6} = \frac{150 - 126}{6} = \frac{24}{6} = 4 ]
Böylece, (y)'nin alabileceği değerler 18, 11 ve 4’tür.
Sonuç olarak, (y)'nin alabileceği farklı değerlerin sayısı 3’tür. Bu nedenle doğru cevap C) 3 olur.