x - y = 6 \quad \text{ve} \quad x \cdot y = 2 \text{ ise } x^2 + y^2 \text{ kaçtır?}
Bu denklemleri çözerek (x^2 + y^2) değerini bulabiliriz. İki bilinmeyenli bir denklem sistemi verildiği için, bu denklem sistemini çözmek için uygun bir strateji izleyebiliriz.
1. Adım: İki Değişkenli Denklemler
Verilen denklemler:
- (x - y = 6)
- (x \cdot y = 2)
2. Adım: İki Değişken için Çözümler
(x - y = 6) denkleminden (x = y + 6) elde edebiliriz. Bunu ikinci denkleme yerleştirelim:
[
x \cdot y = 2
]
[
(y + 6) \cdot y = 2
]
[
y^2 + 6y = 2
]
[
y^2 + 6y - 2 = 0
]
Bu, bir ikinci derece denklemdir. Şimdi bu denklemi çözmek için ikinci derece denklem formülünü (( ax^2 + bx + c = 0 )) kullanabiliriz:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Bu durumda, (a = 1), (b = 6), (c = -2).
[
y = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}
]
[
y = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 8}}{2}
]
[
y = \frac{-6 \pm \sqrt{44}}{2}
]
[
y = \frac{-6 \pm 2\sqrt{11}}{2}
]
[
y = -3 \pm \sqrt{11}
]
Bu durumda:
- (y_1 = -3 + \sqrt{11})
- (y_2 = -3 - \sqrt{11})
3. Adım: x Değerlerini Bulma
(y) değerlerini bulduktan sonra, (x = y + 6) formülünden (x) değerlerini bulabiliriz.
- (x_1 = (-3 + \sqrt{11}) + 6 = 3 + \sqrt{11})
- (x_2 = (-3 - \sqrt{11}) + 6 = 3 - \sqrt{11})
4. Adım: (x^2 + y^2) Hesaplama
(x^2 + y^2) formül olarak şu şekilde ifade edilir:
[
x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy
]
((x - y)^2 = 6^2 = 36) ve (2xy = 2 \cdot 2 = 4) olduğuna göre,
[
x^2 + y^2 = 36 + 4 = 40
]
Sonuç:
(x^2 + y^2 = 40) olarak bulunur.