(2^{x-1})^2 = 4^x olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap:
Verilen denklemi çözmek için öncelikle her iki tarafı da aynı tabanda yazmaya çalışalım. Sağ tarafta 4^x ifadesi var ve bu ifade 2^{2x} olarak yazılabilir, çünkü 4 = 2^2'dir.
Adım 1: Denklemleri Aynı Taban Üzerinden Yazma
Verilen denklem:
$$(2^{x-1})^2 = 4^x$$
Bu ifadeyi yeniden yazalım:
$$(2^{x-1})^2 = (2^2)^x$$
Adım 2: Üsleri Eşitleme
Denklem şu şekilde düzenlenebilir:
$$2^{2(x-1)} = 2^{2x}$$
Tabanlar aynı olduğuna göre üsleri eşitleyebiliriz:
$$2(x-1) = 2x$$
Adım 3: Çözüm
Üstteki denklemi açalım:
$$2x - 2 = 2x$$
2x'ler birbirini götürdüğünde:
$$-2 = 0$$
Burada bir hata olduğunu görüyorsanız denklemin sol tarafını doğru yazıp tekrar inceleyelim. Çünkü bu aşamada bir hatalı işlem söz konusu.
Adım 4: Alternatif Çözüm
Verilen:
$$(2^{x-1})^2 = 4^x$$
Bu denklem aslında şu şekilde de eşitlenebilir:
$$(2^{x-1})^2 = (2^2)^x$$
Bu da şu olur:
$$2^{2(x-1)} = 2^{2x}$$
Ama burada 2’lerin kuvvetini hesaba katmayı unutmuşuz. Bu durumda üstel ifadeleri eşitleyelim:
$$(x-1) \cdot 2 = 2x$$
Bu eşitliği doğru çözerek, x'in doğru çözümünü bulalım.
$$(x-1) \cdot 2 = 2x \Rightarrow 2x - 2 = 2x$$
Bu durumda burada yine hata var gibi görünüyor. Aşağıda iki tarafı sabitlerle kontrol edelim:
Bu tür denklemler genellikle bir hata barındırabilir. Bu, cevapların kontrol edilmesiyle netleşir. Doğru manipülasyonla veya doğru yaklaşımı sağlayarak cevabı düzenlemek gerekebilir.