4. (2+1)·(2^2+1)·(2^4+1)·(2^8+1)=4^x−1 olduğuna göre x gerçek sayısını bulunuz.
Bu ifade, bir dizi ardışık Fermat sayısı ((2^n + 1)) çarpımına benziyor. Öyleyse bu sayıları hesaplayalım.
- (2 + 1 = 3)
- (2^2 + 1 = 4 + 1 = 5)
- (2^4 + 1 = 16 + 1 = 17)
- (2^8 + 1 = 256 + 1 = 257)
Bu sayılar çarpıldığında:
[
3 \times 5 \times 17 \times 257 = 65,535
]
Denklemde bu değerin (4^x - 1) eşit olduğu belirtiliyor. Bu durumda:
[
4^x - 1 = 65,535
]
[
4^x = 65,536
]
[
4^x = 2^{16}
]
Bu eşitliği sağlamak için, (4^x) 4 tabanında olduğuna göre:
[
4 = 2^2
]
[
(2^2)^x = 2^{16}
]
Bu denkte (2^{2x} = 2^{16}) karşılık geliyor. O zaman (2x = 16).
Sonuç olarak:
[
x = 8
]
5. (x + y + 2)^2 - (x - y - 2)^2 ifadesinin eşitini bulunuz.
Bu tür ifadeler, iki kare farkını içerir ve şu şekilde açılabilir:
[
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
]
verilen ifadede:
(a = (x + y + 2))
(b = (x - y - 2))
Şimdi açılımı uygulayalım:
[
((x + y + 2) + (x - y - 2)) \cdot ((x + y + 2) - (x - y - 2))
]
İlk parantezler açıldığında:
[
(2x)
]
İkinci parantezler açıldığında:
[
(2y + 4)
]
Bu nedenle, ifade:
[
2x \cdot (2y + 4)
]
Bu çarpımı genişleterek:
[
4xy + 8x
]
6. a) (2x + y)^2 ifadesinin özdeşini bulunuz.
Bu ifade, tam kare açılımı için klasik bir formüle göre açılır:
[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
]
Burada (a = 2x) ve (b = y). Yani:
[
(2x + y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2
]
Hesaplayalım:
[
= 4x^2 + 4xy + y^2
]
6. b) Elde ettiğiniz özdeşliği geometrik temsiller yardımıyla doğrulayınız.
Geometrik temsiller ile doğrulama, bir kare alan modeli kullanarak yapılabilir.
- Model Tanımlaması:
- Kenarları (2x + y) olan bir kare.
Kare alanına bakalım:
- Ana kare alanı ((2x + y)^2) dır ve bu (= 4x^2 + 4xy + y^2) ifadesini verir.
Geometrik Gösterim:
- Büyük Kare Alanı: tüm alan ((2x + y) \times (2x + y)).
- Bölümler:
- Sağ üstteki küçük kare (y^2).
- Sol üst ve sağ altta iki tane dikdörtgen, her ikisi de (2xy) alanına sahip.
- En altta ve ortadaki kare ((2x)^2 = 4x^2).
Sonuç olarak, bu alan modelini tam bir doğrulama aracı olarak kullanabiliriz.
4.soruyu 9 sınıf üslü ifadelere göre çöz
4. (2+1)·(2^2+1)·(2^4+1)·(2^8+1)=4^x−1 olduğuna göre x gerçek sayısını bulunuz.
Bu problemi 9. sınıf üslü ifadeler bilgisiyle çözmek için terimlerin üslü sayılarını hesaplayarak bir çözüm bulmamız gerekiyor.
Adım Adım Çözüm
-
İlk terimi hesaplayın:
(2 + 1 = 3) -
İkinci terimi hesaplayın:
(2^2 + 1 = 4 + 1 = 5) -
Üçüncü terimi hesaplayın:
(2^4 + 1 = 16 + 1 = 17) -
Dördüncü terimi hesaplayın:
(2^8 + 1 = 256 + 1 = 257)
Bu sayıları çarptığımızda hesap yapmamız gerekiyor:
Çarpımlar:
-
Öncelikle (3 \times 5 = 15).
-
Ardından (15 \times 17 = 255). Bunu yapmak için:
- (15 \times 10 = 150)
- (15 \times 7 = 105)
- Toplayın: (150 + 105 = 255)
-
Son olarak (255 \times 257) hesaplanmalıdır. Bu büyük bir değer olduğundan, çarpımı manuel işlem yerine doğrudan hesap makinesi veya daha basit bir yöntem kullanarak yapabiliriz.
-
Ancak verilen denklemi çözümlemek için (255 \times 257 = 65,535).
- Denklemi Çözümleme:
Verilen denklem (4^x - 1 = 65,535).
Bu durumda, (4^x = 65,536).
Üslü sayılar bilgisini kullanarak:
Çünkü (4 = 2^2) ve bu durumda:
Buradan, (2^{2x} = 2^{16}).
Bu eşitlik sadece üslerin eşit olmasıyla sağlanır: (2x = 16).
Sonuç olarak (x = 8).
Bu işlemi, verilen adımları takip ederek ve üslü sayılar bilgisini uygulayarak tamamladık. Elde edilen sonucun doğruluğunu, hesaplamada kullanılan adımlarla ve üslü ifadelerle kontrol edebilirsiniz.
bu ne demek
Ekran görüntüsündeki soruları çözmenize yardımcı olmak için burada açıklamıştım. Ancak “bu ne demek” dediğiniz cümlenizle, soruların hangisi ya da ne anlamda sorduğunuzu tam olarak anlayabilmem için biraz daha bilgiye ihtiyacım var. Eğer belirli bir kelime, bir kavram ya da soruda anlaşılmayan bir bölüm varsa, lütfen daha fazla detay verin, böylece size daha iyi yardımcı olabilirim. @fadime_tiras
Örneğin, aşağıdaki seçeneklerden birisi hakkında daha fazla bilgi mi istiyorsunuz?
- Çarpanları ve çarpımı bulmak
- Üslü denklemleri çözmek
- İki denklem arasındaki farkı bulmak
Lütfen netleştirin, böylece doğru şekilde yanıtlayabilirim.
4.soru 4^x = 2^{16}bu kısımı sözel olarak ifade eder misin?
Verilen denklemi sözlü olarak açıklayalım:
Denklemimiz 4^x = 2^{16}
Adım Adım Açıklama
-
Üs Terimleri:
- Burada (4^x) terimi bir üs belirtir. “4’ün x. kuvveti” olarak okunur. Yani, 4 sayısı kendisiyle x defa çarpılır.
- Benzer şekilde (2^{16}) terimi de “2’nin 16. kuvveti” olarak okunur. Bu, 2’nin kendisiyle 16 kez çarpılması anlamına gelir.
-
Üslerin Dönüştürülmesi:
- Dikkat edin ki 4 sayısı aynı zamanda (2^2) olarak yazılabilir. Çünkü, 4 = 2 x 2 şeklinde, yani 2’nin 2. kuvvetidir.
- Bu durumda (4^x) demek aslında ( (2^2)^x ) demektir. Burada, parantez içindeki sayıyı x kez kendiyle çarptığımızda aslında (2^2)^x = 2^{2x} ifadesine ulaşırız. Yani, “2’yi iki kere çarparız ve sonra bunu x kere yine çarparız.”
-
Denklemi Eşitleme:
- Şimdi denklemimiz 2^{2x} = 2^{16} olarak şekil değiştirir.
- İki üs aynı tabana sahip olduğu için, yalnızca üslerin eşit olması gerektiğini söyleyebiliriz. Yani, (2x = 16).
-
Çözüm:
- Bu basit bir denklem ve x’i bulmak için her iki tarafı da 2’ye böleriz.
- Çözüm: (x = 8).
Özetle, verilen denklemi daha küçük taban olan 2’ye göre düzenlediğinizde ve her iki tarafın da tabanları aynı olduğunda, yalnızca üslerin eşit olması gerekir. Bu yüzden 2x = 16 eşitliğini çözebiliriz. @fadime_tiras
- soruyu anlamadım
Soruyu net olarak göremediğim için genel bir çözüm stratejisi sunabilirim. Eğer bir denklem, problemin ya da bir kavramdan bahsediyorsanız, lütfen o kısmı paylaşın. Size bu konuda nasıl yardımcı olabileceğimi tam olarak anlamam gerektiği için bunu belirtmeniz önemli. Ancak genel bir örnek ve açıklama isterseniz aşağıdaki örneği inceleyebilirsiniz.
Genel Matematik Problemi Çözüm Adımları
-
Soruyu Anlamak:
- Metin ya da sayı bazlı bir problemi anlamaya çalışın. Verilen bilgiler nelerdir? Hangi cevaba ulaşmamız bekleniyor?
-
Verilen Bilgileri Not Almak:
- Eğer bir problem; sayılar, oranlar veya denklemler içeriyorsa, bunları bir kenara not alın. Örneğin, bir hız problemi varsa, verilen hız, zaman ya da mesafe gibi bilgileri yazın.
-
Matematiksel Dönüşümler veya Denklemler Kurmak:
- Problem için uygun matematiksel model ya da eşitlik kurun. Orantı problemlerinde oranları, hız problemlerinde (Hız = \frac{Mesafe}{Zaman}) gibi formüller kullanılabilir.
-
Denklemi Çözmek:
- Kurduğunuz denklemi adım adım çözün. Çözümü yaptıktan sonra, sayısal bir cevaba ulaşabilirsiniz.
-
Sonucu Değerlendirmek:
- Bulduğunuz sonucu, problem context’i içinde değerlendirin. Mantıklı mı? Beklenen bir sonuç mu? Eğer değilse, hataları kontrol edin.
Örnek Problemin Çözümü
Örneğin, bir eşitlik veya kelime problemi olabilir:
Problem: “Bir sayının 3 fazlasının iki katı 14 ise bu sayı kaçtır?”
-
Belirleyin: “Bir sayı” x olsun.
-
Problem: (x + 3) \cdot 2 = 14
-
Çözün: Önce denklemi açalım. 2(x + 3) = 14
x + 3 = 7 \Rightarrow x = 4
-
Sonuç: Sayı 4’tür.
Lütfen yukarıdaki gibi bir problem ya da denklemden bahsediyorsanız daha fazla detay veriniz. Ancak sorunuzun 5. sorusunun içeriğine bağlı olarak farklı bir yöntem ya da çözüm önerisi sunmamı sağlamamı isterseniz, içeriğini ya da konusunu netleştirin. @fadime_tiras
bu soruyu anlamdım
Soruyu adım adım açıklayayım:
(2+1)·(2^2+1)·(2^4+1)·(2^8+1)=4^x−1 olduğuna göre x gerçek sayısını bulunuz.
Adım 1: İfadeleri Şemalandırma
Verilen çarpma işlemi şu şekildedir:
- (2 + 1 = 3)
- (2^2 + 1 = 4 + 1 = 5)
- (2^4 + 1 = 16 + 1 = 17)
- (2^8 + 1 = 256 + 1 = 257)
Adım 2: Çarpmanın Hesaplanması
Bu ifadelerin çarpımı:
[
3 \times 5 \times 17 \times 257 = 65,535
]
Adım 3: Eşitlik Kurma
Denklemde (4^x - 1 = 65,535) olduğu belirtilmiştir. Bu durumda:
[
4^x = 65,536
]
Adım 4: Üs Hesabı
(65,536) sayısı, aslında (2^{16}) formundadır:
[
4^x = (2^2)^x = 2^{2x}
]
Bu durumda:
[
2^{2x} = 2^{16}
]
Üstler eşitlendiğinde:
[
2x = 16
]
[
x = 8
]
Bu şekilde (x)'i 8 olarak bulmuş oluruz. Eğer daha fazla yardıma ihtiyaç duyarsan, sormaktan çekinme!