(2+1)×(2²+1)×(2⁴+1)×(2⁸+1)=4^x -1 ise x kaçtır
(2+1)×(2²+1)×(2⁴+1)×(2⁸+1)=4^x -1 ise x kaçtır
Çözüm:
Bu tür sorularda kullanılan bir özdeşlik vardır ve bu, çarpanları 2’nin kuvvetleri olan ifadelerle ilgilidir. Verilen ifade:
$$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1) = 4^x - 1$$
Bunu \displaystyle (a+b)(a-b)=a^2-b^2 özdeşliğine benzer bir süreçle çözebiliriz.
1. Faktörleri Açma:
İfadeyi inceleyerek başlayacağız:
- İlk faktör: (2+1) = 3
- İkinci faktör: (2^2+1) = 5
- Üçüncü faktör: (2^4+1) = 17
- Dördüncü faktör: (2^8+1) = 257
Bu faktörleri çarptığımızda:
$$3 \times 5 \times 17 \times 257$$
2. Özel Özdeşlik:
İnceleyeceğimiz özdeşlik şu şekildedir:
$$(2^1 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1) \cdots (2^{2^n} + 1) = 2^{2^{n+1}} - 1$$
Bu özdeşlik, 2’nin kuvvetli çiftlerinin toplamlarıyla tek kuvvetlerin çözümlerine dair bir özel durumdur.
3. Kuvvetleri Karşılaştırma:
Verilen ifade için n = 3 olduğunda, şunları elde ederiz:
$$(2^1 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) = 2^{2^{3+1}} - 1$$
Bunu düzenleyelim:
$$2^{2^4} - 1 = 2^{16} - 1$$
Bu formda, \displaystyle 4^x terimi dikkate alındığında, 4 = 2^2 şeklinde yazılabilir, öyle ki:
$$4^x = 2^{2x}$$
\displaystyle 2x'in 16’ya eşit olması gerektiğinden dolayı 4^x - 1 = 2^{2^{4}} - 1 eşitliğinde terimler karşılaştırıldığında, 2x = 16 sonucuna ulaşırız.
Bu durumda x = \frac{16}{2} = 8 olacaktır.
Sonuç:
Bu adımlar gösteriyor ki, \displaystyle (2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1) = 4^x - 1 eşitliği için x = 8 sınuç elde edilir.
Bu özel özdeşliğin kullanılmasıyla sağlanan faktorizasyon, problemi çözmeyi önemli ölçüde kolaylaştırdı. Bahsedilen özdeşliği bilmiyorsanız, sonuçları doğrulamak için sayısal çarpanlar kullanılabilir. Yine de, özdeşliğe göre problem çözmek hızlı ve etkili bir yaklaşımdır.