Üslü Denklemlerin Çözümü
Soru: 5(x−1)³ + 4(1−x)³ = 8 denkleminin kökü kaçtır?
Bu sorudaki üslü ifadeleri ve denklemi çözmek için genellikle kökleri ve eşitlikleri bulmamız lazım. İlk olarak, denklemin sol taradındaki üslü ifadeleri açarak başlayalım:
Adım 1: Üslü İfadelerin Açılması
Denklemde iki üslü ifade var:
- (x-1)³
- (1-x)³
Bu ifadeleri açalım:
-
(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1
-
(1-x)^3 = (-(x-1))^3 = -(x-1)^3 = -(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = -x^3 + 3x^2 - 3x + 1
Adım 2: Denklemi Basitleştir
Denklemi tekrar yazalım:
[ 5(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + 4(-x^3 + 3x^2 - 3x + 1) = 8 ]
Bu ifadeleri çarpalım ve birleştirelim:
- 5 ile çarpılmış ifade: ( 5x^3 - 15x^2 + 15x - 5 )
- 4 ile çarpılmış ifade: ( -4x^3 + 12x^2 - 12x + 4 )
Birleştirdiğimizde:
[ (5x^3 - 4x^3) + (-15x^2 + 12x^2) + (15x - 12x) + (-5 + 4) = 8 ]
[ x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 8 ]
Adım 3: Denklemi Sadeleştir ve Çöz
Şimdi, denklemin sadeleşmiş halini çözelim:
[ x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 8 ]
Öncelikle 8’i diğer tarafa alalım:
[ x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - 8 = 0 ]
[ x^3 - 3x^2 + 3x - 9 = 0 ]
Bu bir kübik denklemdir. Köklerini deneme yanılma yöntemiyle veya faktörizasyonla bulabiliriz.
Adım 4: Kökleri Bulma
Kübik denklemleri çözmek için genellikle tahmin yaparak başlarız. Bu durumda seçeneklerden birini deneyelim.
( x = 3 )'ü deneyelim:
- ( x = 3 ) için denklemi yerine koyarak:
[ 3^3 - 3(3)^2 + 3(3) - 9 ]
[ 27 - 27 + 9 - 9 = 0 ]
Bu ifade doğru olduğuna göre, ( x = 3 ) denklemin bir köküdür.
Sonuç
Bu çözüm bize ( x = 3 ) cevabını verir, yani denklemin köklerinden biri ( x = 3 )'tür ve doğru seçenek C) ( x = 3 ) olarak belirlenmiştir.
Bu aşamaları takip ederek, benzer denklemleri çözebilir ve üslü ifadelerin yönetimini öğrenebilirsiniz. Bu önemli matematiksel konseptleri kavramak, daha karmaşık matematiksel problemleri çözmede büyük yardımcı olacaktır.