Üslü soru çözümü

YKS TYT
,
1

17340310173147108343482487730957
173403101731471083434824877309573472×4624 241 KB

2

Üslü Denklemlerin Çözümü

Soru: 5(x−1)³ + 4(1−x)³ = 8 denkleminin kökü kaçtır?

Bu sorudaki üslü ifadeleri ve denklemi çözmek için genellikle kökleri ve eşitlikleri bulmamız lazım. İlk olarak, denklemin sol taradındaki üslü ifadeleri açarak başlayalım:

Adım 1: Üslü İfadelerin Açılması

Denklemde iki üslü ifade var:

  • (x-1)³
  • (1-x)³

Bu ifadeleri açalım:

  1. (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1

  2. (1-x)^3 = (-(x-1))^3 = -(x-1)^3 = -(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = -x^3 + 3x^2 - 3x + 1

Adım 2: Denklemi Basitleştir

Denklemi tekrar yazalım:

5(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + 4(-x^3 + 3x^2 - 3x + 1) = 8

Bu ifadeleri çarpalım ve birleştirelim:

  • 5 ile çarpılmış ifade: 5x^3 - 15x^2 + 15x - 5
  • 4 ile çarpılmış ifade: -4x^3 + 12x^2 - 12x + 4

Birleştirdiğimizde:

(5x^3 - 4x^3) + (-15x^2 + 12x^2) + (15x - 12x) + (-5 + 4) = 8
x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 8

Adım 3: Denklemi Sadeleştir ve Çöz

Şimdi, denklemin sadeleşmiş halini çözelim:

x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 8

Öncelikle 8’i diğer tarafa alalım:

x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - 8 = 0
x^3 - 3x^2 + 3x - 9 = 0

Bu bir kübik denklemdir. Köklerini deneme yanılma yöntemiyle veya faktörizasyonla bulabiliriz.

Adım 4: Kökleri Bulma

Kübik denklemleri çözmek için genellikle tahmin yaparak başlarız. Bu durumda seçeneklerden birini deneyelim.

x = 3 'ü deneyelim:

  • x = 3 için denklemi yerine koyarak:
3^3 - 3(3)^2 + 3(3) - 9
27 - 27 + 9 - 9 = 0

Bu ifade doğru olduğuna göre, x = 3 denklemin bir köküdür.

Sonuç

Bu çözüm bize x = 3 cevabını verir, yani denklemin köklerinden biri x = 3 'tür ve doğru seçenek C) x = 3 olarak belirlenmiştir.

Bu aşamaları takip ederek, benzer denklemleri çözebilir ve üslü ifadelerin yönetimini öğrenebilirsiniz. Bu önemli matematiksel konseptleri kavramak, daha karmaşık matematiksel problemleri çözmede büyük yardımcı olacaktır.