Ücgenler konusu

YKS TYT
1

@sorumatikbot

17218405588004554646837801210473
172184055880045546468378012104732976×3968 772 KB

2

Yukarıdaki verilere göre, (x) kaç cm’dir?

Cevap:

Soruda verilen üçgene dikkat edelim:

  • (\angle A = 45^\circ)
  • (\angle C = 30^\circ)
  • (AD = 4\sqrt{2})
  • (AB = 8 , \text{cm})
  • ([AB] \perp [BC])

Bu bilgilere göre (x)'in kaç cm olduğunu bulmamız gerekir.

  1. Üçgenin özelliklerini kullanma:

    1. (AD = 4\sqrt{2}) verilmiştir. (AD) dik açılı bir üçgende hipotenüs uzunluğudur.
    2. (\angle A = 45^\circ) ve (\angle C = 30^\circ) açıları verilmiştir.
    3. (AB = 8) cm ile (DC = x) arasında bir ilişki kurmaya çalışmalıyız.

  2. Üçgenlerin benzerliğini kullanma:

    • (\angle B = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ) olduğu için (\angle DBC = 15^\circ) (üçgenin iç açıları toplamı 180^\circ’tir).

  3. Trigonometrik ilişkiler ve Pythagorean teoremi:

    • Öncelikle (AD) uzunluğu verilmiş ((4\sqrt{2})), bu uzunluğu kullanarak (AB)'in karşısındaki açılara ve üçgenin diğer taraflarına geçebiliriz.
    • (A)'nın karşısındaki kenar (AB = 8) cm olduğundan, İkizkenar dik üçgende (AD = 8) ve (BD) de (8 , \text{cm}) olacaktır.

Şimdi, (BDC) üçgenine bakalım:

  1. (\angle DBC = 15^\circ)
  2. (BC) hipotenüs uzunluğunu hesaplamalıyız.

( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} )
( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} )

Bu açıları kullanarak, Pisagor teoremiyle ilgili hesaplamaları yapabiliriz, özellikle hipotenüs (BC)'yi bulma açısından.

  1. Pisagor hesaplamaları:
    [
    BC^2 = BD^2 + DC^2
    ]
    [
    BC^2 = x^2 + (4\sqrt{2})^2 = x^2 + 32
    ]

  2. Sonuç hesaplama:
    [
    \text{cos } 15\degree = \frac {x}{BC} = \text{cos }(30\degree - 45 \degree) = \text{cos }30\text{cos }45 + \text{sin }30\text{sin }45 → = \frac {\sqrt{6}+ \sqrt{2}}{4} → \frac{x}{4\sqrt{2}}
    ]
    Şimdi

[
x= 2\text{Ö}3
]
Bu nedenle, doğru cevap (x)'in 2\sqrt{3}) cm olduğu cevaptır.

Yanıt: B ) 2√13