üçgende alan nasıl bulunur ?
Üçgende alan nasıl bulunur?
Cevap: Üçgenin alanını hesaplamanın birkaç yolu vardır ve hangi yöntemin kullanılacağı, üçgenin sahip olduğu bilgilerin türüne bağlıdır. İşte yaygın kullanılan yöntemler:
1. Yükseklik ve Tabanı Bilinen Üçgenin Alanı
Eğer üçgenin tabanı (taban) ve bu tabana ait yüksekliği (yükseklik) biliyorsak, alanı şu formülle hesaplayabiliriz:
\text{Alan} = \frac{1}{2} \times \text{Taban} \times \text{Yükseklik}
Örneğin, tabanı 10 cm ve yüksekliği 8 cm olan bir üçgenin alanı:
\text{Alan} = \frac{1}{2} \times 10 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm} = 40 \, \text{cm}^2
2. Kenar Uzunlukları Bilinen Üçgenin Alanı (Heron Formülü)
Eğer üçgenin kenar uzunlukları a, b ve c biliniyorsa, Heron formülü kullanılabilir. Önce yarı çevre (s):
s = \frac{a + b + c}{2}
Daha sonra Heron formülü:
\text{Alan} = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}
Örneğin, kenar uzunlukları 7 cm, 8 cm ve 9 cm olan bir üçgenin alanı:
- Yarı çevre hesaplanır:
s = \frac{7 \, \text{cm} + 8 \, \text{cm} + 9 \, \text{cm}}{2} = 12 \, \text{cm}
- Heron formülü uygulanır:
\text{Alan} = \sqrt{12 \cdot (12 - 7) \cdot (12 - 8) \cdot (12 - 9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} \approx 26.83 \, \text{cm}^2
3. İki Kenar ve Aralarındaki Açı Bilinen Üçgenin Alanı
Eğer iki kenarın uzunluğu ve aralarındaki açı biliniyorsa, sinüs fonksiyonu kullanılarak alan hesaplanabilir:
\text{Alan} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C)
Örneğin, kenar uzunlukları 5 cm ve 7 cm olan ve aralarındaki açı 30° olan bir üçgenin alanı:
- Sinüs değerine bakılır:
\sin(30°) = 0.5
- Alan hesaplanır:
\text{Alan} = \frac{1}{2} \times 5 \, \text{cm} \times 7 \, \text{cm} \times 0.5 = 8.75 \, \text{cm}^2
4. Koordinat Düzlemindeki Üçgenin Alanı
Eğer üçgenin köşe koordinatları verilmişse (ör: ( (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) )), alanı şu formülle hesaplayabiliriz:
\text{Alan} = \frac{1}{2} \left| x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) \right|
Örneğin, köşe koordinatları (1, 2), (3, 4), (5, 6) olan bir üçgenin alanı:
\text{Alan} = \frac{1}{2} \left| 1(4 - 6) + 3(6 - 2) + 5(2 - 4) \right| = \frac{1}{2} \left| 1(-2) + 3(4) + 5(-2) \right| = \frac{1}{2} \left| -2 + 12 - 10 \right| = \frac{1}{2} \left| 0 \right| = 0 \, \text{cm}^2
Bu örnekte alan sıfır çıkmıştır çünkü verilen noktalar doğrusal olup üçgen oluşturmamaktadır.
Sonuç olarak, üçgenin alanını hesaplamak için çeşitli yöntemler bulunmaktadır ve doğru yöntemi seçmek için verilen bilgileri dikkate almak gerekir.