Üçgende yükseklik nasıl bulunur

YKS TYT
1

üçgende yükseklik nasıl bulunur

2

Üçgende Yükseklik Nasıl Bulunur?

Üçgende yükseklik, bir köşeden karşı kenara dik olarak inen doğru parçasıdır. Yükseklik, üçgenin alanını hesaplamakta ve üçgenin türlerini tanımlamakta oldukça önemli bir geometrik unsurdur. Üçgende yükseklik bulma yöntemi, üçgenin türüne (dik üçgen, ikizkenar üçgen, eşkenar üçgen veya genel üçgen) bağlı olarak değişebilir. İşte adım adım açıklamalar ve farklı durumlar için kullanılabilecek yöntemler:

Üç Köşe İçin Yükseklik Tanımı

Bir üçgende 3 yükseklik vardır ve bu yükseklikler üçgenin üç köşesinden başlayarak karşıdaki kenara dik bir çizgi ile inilir. Bu yükseklikler, üçgenin dik kenarını, tabanını ve diğer geometrik özelliklerini kullanarak hesaplanır.

Yüksekliği bulurken aşağıdaki adımlara dikkat edilir:

  • Yükseklik, üçgenin herhangi bir köşesinden karşı kenara 90 derece (dik açı) ile iner.
  • Eğer köşe açılarına veya kenar uzunluklarına sahipseniz, yükseklik trigonometrik yöntemler veya geometri kuralları ile hesaplanabilir.

1. Eşkenar Üçgende Yükseklik Bulma

Eşkenar üçgen, tüm kenarları ve açıları birbirine eş olan bir üçgendir. Eşkenar üçgende yükseklik, geometrik bağlamda özel bir formül ile hesaplanabilir.

Formül:
Eşkenar üçgende yükseklik şu formül ile hesaplanır:

h = \frac{\sqrt{3}}{2}a
  • h: Yükseklik
  • a: Kenar uzunluğu

Adımlar:

  • Bir eşkenar üçgenin kenar uzunluğunu biliyorsanız, bu formülü doğrudan kullanabilirsiniz.
  • Örneğin, kenar uzunluğu 6 cm olan bir üçgen için yükseklik:
h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 5.2 \, cm

Eşkenar üçgen yüksekliklerini hesaplamak için her üçgenin tabanını iki eşit parçaya böldüğünüzde tabanda oluşan dik üçgende trigonometrik yöntemler kullanılabilir.

2. Dik Üçgende Yükseklik Bulma

Dik üçgende, yükseklik genelde kenar uzunluklarına göre hesaplanır. Dik üçgenin bir köşesi zaten 90 derece olduğu için yükseklik hesaplamaları genelde çok kolaydır.

Püf Noktalar:

  • Dik üçgende yükseklik doğrudan dik olan iki kenarın çarpımı ile veya Pisagor Teoremi ile hesaplanabilir.
  • Eğer bir kenar uzunluğu a, diğer kenar uzunluğu b ise alan formülünden yararlanabilirsiniz:
Yükseklik = \frac{2 \cdot Alan}{Taban}

3. Genel Üçgende Yükseklik Bulma

Genel üçgende taban uzunluğu ve alan biliniyorsa, yüksekliği bulmak için şu formül kullanılabilir:

Formül:

h = \frac{2 \cdot Alan}{Taban}

Örnek:
Taban uzunluğu 8 cm, alanı 24 cm² olan bir üçgenin yüksekliğini bulalım:

h = \frac{2 \cdot 24}{8} = 6 \, cm

4. Trigonometrik Yöntemlerle Yükseklik Bulma

Eğer bir kenar uzunluğu ve o kenarın açısı biliniyorsa, yükseklik trigonometrik hesaplamalarla bulunabilir.

Sinüs Formülü ile yükseklik hesaplama:

Formül:

h = c \cdot \sin(\alpha)
  • h: Yükseklik
  • c: Üçgenin köşesine ait kenar
  • sin(α): Açıya ait trigonometrik oran

Örnek:
Bir üçgende AC = 10 cm ve açı 45^\circ ise:

h = 10 \cdot \sin(45) = 10 \cdot 0.707 = 7.07 \, cm

5. İkizkenar Üçgende Yükseklik Bulma

İkizkenar üçgen, eşkenar gibi özel bir üçgendir ve iki kenar eşittir. Yükseklik, üçgenin tabanı iki eşit parçaya böler ve ortaya bir dik üçgen çıkar.

Formül:

h = \sqrt{a^2 - (\frac{b}{2})^2}
  • h: Yükseklik
  • a: Eşkenar uzunluğu
  • b: Üçgenin taban uzunluğu

Örnek:
Bir üçgenin kenar uzunluğu 10 cm, taban uzunluğu 12 cm ise yüksekliği şu şekilde buluruz:

h = \sqrt{10^2 - (\frac{12}{2})^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \, cm

6. Üçgenin Alanı ile Yükseklik Hesaplama

Üçgenin alanı verilmişse ve taban uzunluğu biliniyorsa, yüksekliği şu şekilde bulabilirsiniz:

Yükseklik = \frac{2 \cdot Alan}{Taban}

Tablo: Üçgen Türlerine Göre Yükseklik Formülleri

Üçgen Türü Yükseklik Hesaplama Formülü Örnek
Eşkenar Üçgen \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a a = 6, h = 5.2
Dik Üçgen Pisagor veya Alan Formülü Taban = x, Alan = 24
İkizkenar Üçgen \sqrt{a^2 - (\frac{b}{2})^2} b=12, a=10
Genel Üçgen \frac{2 \cdot Alan}{Taban} Taban=8, Alan=24

Öğrenciye Not:

  • Yükseklik hesaplamalarında dikkat edilmesi gereken nokta, üçgen türünü doğru belirlemek ve doğru formülü kullanmaktır.
  • Trigonometrik yöntemler özellikle açı bilgilerinin olduğu durumlarda çok işe yarar.

Sorunuz varsa sormaktan çekinmeyin! :slight_smile:

@dersnotu