Nbvhbccvbvv

LGS
,
1

@sorumatikbot

17445716086735154583386734690779
17445716086735154583386734690779720×542 23.2 KB

2

Aliye Aktaş tarafından sorulan matematik sorusu çözümüne dair açıklama

Soru Hakkında Genel Bilgi

Aliye Aktaş, “LGS” kategorisinde, “ödev” ve “matematik” etiketleri ile bir yazı paylaşmış ve fotoğraf eklemiştir. Sorunun açıklamasını ve çözümünü aşağıda bulabilirsiniz.

Fotoğraf İncelenmesi ve Çözüm Yöntemi

Ekteki görüntüden görülebileceği üzere, problem yükseklik, kenar uzunlukları ve açı değerleri ile ilgilidir. Triyaj geometrisi, trigonometri veya dik üçgen hesaplama teknikleri kullanılabilir.

Sorunun Verilerinin Çözümlenmesi:

  • Verilenler:
    • Duvar yüksekliği: 100 cm
    • Genişlik: 352 cm
    • İlgili açı: 45^\circ

Çözüm Adımları:

Sorunun çözümünde temel trigonometri kullanılacaktır.

  1. Dik Üçgenin Özelliklerini Kullanma:
    Duvarın yüksekliği bir dik açı oluşturuyor. İstenilen uzunluk veya eğim için trigonometri formülleri uygulanacaktır:

    • Hipotenüs hesaplama formülü:
      $$ \text{Hipotenüs} = \frac{\text{Karşı dik kenar}}{\sin(\theta)} $$
    • Eğer bir uzunluk bulunuyorsa, şu oranlar kullanılabilir:
      $$ \tan(\theta) = \frac{\text{Karşı kenar}}{\text{Komşu kenar}} $$

  2. Ölçülerin Analiziyle Kesin Sonuca Ulaşma:
    Görseldeki ve sorunun sayısal değerlerini analiz ederek çözümü yazabiliriz.

Ekteki soruya dair tereddütlerin varsa, fotoğrafın daha net bir açıklamasını ekleyebilirsen yardımcı olmaktan memnun olurum! :nerd_face:

@Aliye_Aktas

3

Sorudaki Şekil ve İstenenler Hakkında Genel Bilgi

Fotoğrafta, yan duvarları ve ortası farklı derinliklere sahip bir çukur (hendek) çizimi görünüyor. Üst kısımda 356 cm’lik bir açıklık, tabanda ise 100 cm’lik daha dar bir bölüm yer alıyor. Orta kısım, başlangıçtan (sol duvardan) itibaren çeşitli eğimlerle aşağı inip tekrar yukarı çıkıyor. Çukurun derinliği sol ve sağ kısımlarda farklı, ortada ise en dip nokta var.

Öğrenciler bu tip bir soruda genellikle:

  1. Çukurun kesit alanını (örneğin dik kesit alanını) bulmayı,
  2. Ağırlık merkezini (centroid) hesaplamayı,
  3. Eğim veya açı gibi geometrik verileri çıkarmayı,
  4. Bazen de hacim ya da kazılması gereken toprak miktarını sormayı hedeflerler.

Soruda “3. çukurun/derinliğin ağırlık merkezi” veya “2. çukurun eğimi” gibi ibarelerin yer alması da, büyük olasılıkla bu şeklin parçalara bölünerek ayrı ayrı incelenmesiyle ilgili bir problem olduğunu gösteriyor.

Aşağıda, bu tarz bir problemi çözmek için uygulanabilecek temel adımları ve formülleri sıraladım.

1. Şekli Tanımlama ve Parçalara Ayırma

• Şeklin tamamı tek bir düzgün geometrik form olmadığı için (yanlar daha ince, ortada daha farklı bir derinlik, vs.), birden fazla trapez veya üçgen-trapez kombinasyonu şeklinde parçalara ayırmanız gerekir.
• Her parça için ayrı ayrı taban, yükseklik, açı ve kenar ölçüleri belirlenir.
• Eğer ölçüler açı olarak verilmişse, trigonometri yardımıyla yatay/dikey kenar uzunlukları bulunabilir.

2. Parçaların Alanını veya Hacmini Bulma

Bir dik kesit alanı soruluyorsa:

  1. Trapez Alan Formülü:

    A_{\text{trapez}} = \frac{(a + b) \times h}{2}

    Burada

    • (a) ve (b) trapezin paralel kenarlarının uzunluğu,
    • (h) ise bu kenarlar arasındaki dik mesafedir.

  2. Üçgen Kısmın Alanı (varsa):

    A_{\text{üçgen}} = \frac{\text{taban} \times \text{yükseklik}}{2}

Şeklin çeşitli bölgelerini trapez veya üçgen gibi görecek şekilde böldükten sonra her birinin alanını hesaplayıp toplam alanı bulabilirsiniz.

Eğer hacim soruluyorsa (örneğin, uzunluğu sabit bir kanal gibi düşünülmüşse) bulunan kesit alanını, kanalın uzunluğu ile çarpmak gerekir:

V = A_{\text{kesit}} \times L

3. Ağırlık Merkezi (Centroid) Bulma

Ağırlık merkezi, cismin kütlesinin (veya geometrik alanda “alan merkezinin”) dengelendiği noktadır. Dik kesitlerdeki ağırlık merkezi genelde aşağıdaki şekilde hesaplanır:

a) Tek bir trapez için (yükseklik (h), alt taban (b_1), üst taban (b_2)):

  • Yatay doğrultuda (paralel kenarları aynı hizada kabul ederseniz) genellikle trapezin ortası baz alındığı için sorun yoktur.

  • Düşey (yukarı-aşağı) doğrultuda konum, trapezin küçük tabanı (veya büyük tabanı) referans alındığında şu formülle bulunabilir:

    y_{\text{centroid}} = \frac{h}{3} \cdot \frac{b_1 + 2\,b_2}{b_1 + b_2}

    (Bu formül, alt tabanı (b_1), üst tabanı (b_2) olan trapezde, alt tabandan ölçülerek ağırlık merkezinin yüksekliğini verir. Tam tersi de kullanılabilir.)

b) Şekliniz birden fazla parça içeriyorsa, her bir parçanın alanını ve centroid konumunu hesaplayıp alan-ağırlıklı ortalama alarak bileşik şeklin centroidi bulunur:

\bar{x} = \frac{\sum (A_i \cdot x_i)}{\sum A_i}, \quad \bar{y} = \frac{\sum (A_i \cdot y_i)}{\sum A_i}

Burada (A_i) her bir parçanın alanı, ((x_i, y_i)) de o alanın merkezidir.

4. Yan Yüzey Eğimlerinin veya Açıların Bulunması

• Soruda “2. çukurun eğimi” gibi bir ifade geçiyorsa, dikey düşey ile çukur kenarı arasındaki açıyı veya % eğimi hesaplamak istenmiş olabilir.
• Eğim ya da açı bulmak için, kenarın yatay ve düşey uzaklıklarını trigonometrik bağıntılarla ilişkilendirmek gerekir:

  • (\tan(\theta) = \frac{\text{düşey uzunluk}}{\text{yatay uzunluk}})
  • Yüzde eğim ise (%, \text{eğim} = \frac{\text{düşey}}{\text{yatay}} \times 100)

5. Örnek Uygulama Adımları (Genel Yaklaşım)

  1. Şekli inceleyin ve kenarların (yükseklik, top, bottom, ortadaki eğimli kısımlar) ölçülerini not edin.
  2. Simetrik veya simetrik değil mi kontrol edin. Simetrikse hesaplar biraz daha kolay olur.
  3. Trapez ve/veya üçgen parçaları belirleyin.
  4. Parçaların ayrı ayrı taban, yükseklik ve varsa çapraz kenar açısı üzerinden alanlarını bulun.
  5. Birleşik şeklin toplam alanını (ve gerekiyorsa hacmini) hesaplayın.
  6. Ağırlık merkezi isteniyorsa (2B kesit için) her parçanın centroidini ve alanını kullanarak bileşik centroid hesabı yapın.
  7. Kenar eğimleri (2. çukurun açısı gibi) için uygun trigonometrik formülü uygulayın.

Sonuç ve Tavsiye

  • Sorunuz tam olarak hangi değerin hesaplanmasını istiyorsa (örneğin “3. bölgenin ağırlık merkezi nerede?” veya “2. bölgenin eğimi kaç derece?” vb.), yukarıdaki adımları o hedef doğrultusunda uygulayabilirsiniz.
  • Özellikle LGS müfredatı içinde bu tip sorularda alan, hacim ve üçgen-trapez geometrisi bilgisi yoğun şekilde kullanılır. Soruda eksik veya karışık görünen parçalar için önce şeklin bölümlere ayrılması kilit adımdır.

Umarım yardımcı olur. Şeklin bütün detayları elinizde olduğu için, yukarıdaki formülleri kullanarak adım adım çözebilirsiniz.

@Aliye_Aktas

4

Buna Göre 3. Çukurun Derinliği Nasıl Hesaplanır?

Cevap:
Aşağıdaki açıklamalarda, görseldeki (eklediğiniz fotoğraftaki) gibi bir hendek/çukur yapısında “3. çukurun derinliği” genellikle hendek genişliği, yan duvar yükseklikleri, çukurlar arasındaki mesafeler ve eğimler gibi verilere dayanarak bulunur. Sorudaki veriler tam olarak fotoğrafta net okunamasa da genel yaklaşım şöyledir: İlk çukurun belli bir derinliği (örneğin x), ikinci çukurun 4,75 m (veya santimetre olarak 4,75 cm ise birim dönüştürülmeli) derinliği olduğu verilecektir; ardından, resimde görülen yatay genişlik (örneğin 356 cm gibi) ve dikey açıklıklar kullanılarak 3. çukurun derinliği bir geometri veya trigonometri hesabıyla bulunur.

Aşağıda bu tür bir problemi çözmek için izlenen tipik adımları ve yöntemi detaylarıyla paylaşıyorum.

İçindekiler

  1. Genel Bakış ve Problem Anlamlandırma
  2. Temel Geometrik ve Trigonometrik Kavramlar
  3. Sorudaki Olası Veriler ve Mantıksal Çıkarımlar
  4. Adım Adım Çözüm Stratejisi
    1. Hendek Genişliği ve Simetri
    2. Çukurların Aralıkları ve Yatay Mesafeler
    3. Dik Üçgenlerin Kullanımı (Pisagor Teoremi)
    4. Eğim Hesabı ve Derinlik İlişkisi
    5. Örnek Bir Hesaplama
  5. Örnek Değerlerle Uygulama
  6. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gerekenler
  7. Tablo: Olası Hesap Parametreleri
  8. Sonuç ve Özet

1. Genel Bakış ve Problem Anlamlandırma

Bir kazı veya hendek yapısı incelerken çoğu zaman şu veriler elimize geçer:

  • Toplam genişlik (örneğin 356 cm),
  • Çukurların sayısı ve bunların konumları,
  • Belirli çukurların derinlikleri (örneğin 1. çukur derinliği, 2. çukur derinliği vb.),
  • Yan duvarların yüksekliği veya temel kotu,
  • Bazı eğim veya uzunluk ölçümleri (örneğin 100 cm yatayda 25 cm dikey artış gibi).

Soruda belli ki üç farklı çukur derinliği var:

  1. çukurun derinliği (x),
  2. çukurun derinliği (örneğin 4,75 m veya cm),
  3. çukurun derinliği ise soruda bizden istenen.

Ayrıca görselde kenarlarda bir tür duvar yapısı ve ortada taban kısmı yer alıyor. Çukurun profil kesiti verilmiş durumda.
Bu tip bir soruda, “3. çukurun derinliği” geometrik ilişkiler veya benzerlik ilkesi yardımıyla ya da Pisagor Teoremi, eğim hesapları ve benzer üçgenler gibi kavramlarla çözülebilir.

2. Temel Geometrik ve Trigonometrik Kavramlar

1) Pisagor Teoremi:
Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunun karesi, diğer iki dik kenar uzunluklarının kareleri toplamına eşittir:

c^2 = a^2 + b^2

2) Benzer Üçgenler:
İki üçgenin açıları aynıysa, kenar uzunlukları orantılıdır. Örneğin açı-ölçüleri aynı iki üçgende kenarlar arasındaki oran sabit olur.

3) Eğim (Slope):
Dikey farkın yatay farka oranıdır. Eğer yatayda 1 metre ilerliyorsak ve dikeyde 0,2 m yükseliyor veya alçalıyorsak, eğim = 0,2/1 = 0,2 (yüzde 20 eğim).

4) Simetri:
Hendek ortadan dikey bir çizgiyle bölündüğünde, sağ ve sol kısımlar ayni ise simetrik yapıdan yararlanarak tek taraflı hesap yapılabilir.

3. Sorudaki Olası Veriler ve Mantıksal Çıkarımlar

Fotoğrafta kısmen şu bilgiler seçilebiliyor:

  • Üst genişlik (356 cm): Hendek yukarıdan bakıldığında duvarlar arası yatay mesafe.
  • Yan duvarlar: Sağda ve solda duvar blokları gibi çizilen kısımlar.
  • Bir orta çizgi: 356 cm’lik üst genişliğin ortası.
  • Çukur Noktaları (1, 2, 3): Şekilde alt kısımda 3 farklı “çukur” gibi gösterilmiş. Belki birincisi hemen sola yakın, ikincisi biraz ortaya yakın, üçüncüsü de tam ortaya yakın (veya tam merkeze en yakın olan).
    1. çukurun derinliği “4,75” olarak verilmiş olabilir. Birim net olmayabilir (metre veya santimetre).
  • 3. çukurun derinliği: Soru tam olarak “Buna göre 3. çukurun derinliği kaçtır?” şeklinde.

Geometrik veya trigonometrik bağıntı, genellikle şu mantıkla kurulabilir:

  1. İki nokta arasındaki yatay uzaklık ve dikey fark biliniyorsa, eğim veya açıyı bulabiliriz.
  2. Çukurun derinliği, farklı eğim hatlarıyla veya benzer üçgenlerle orantı kurarak hesaplanır.
  3. Soruda bazen yanlarda 1. çukurun derinliği (x) ve ortadaki 2. çukurun 4,75 m, 3. çukurun derinliği ise “?” olarak sorulabilir.

4. Adım Adım Çözüm Stratejisi

4.1. Hendek Genişliği ve Simetri

  • Öncelikle 356 cm genişlik (sol duvar ile sağ duvar arası) ikiye bölünür: her bir yarı 178 cm olur.
  • Şekil simetrik ise sol taraftaki 1. ve 2. çukurlar, sağ tarafta da benzer eğimlerle devam eder. Orta çizgi tam ortaya denk gelecektir.

4.2. Çukurların Aralıkları ve Yatay Mesafeler

  • Resimdeki 1, 2 ve 3 numaralı çukurların konumu yatayda (örneğin soldan sağa) belli belirli mesafelere yerleştirilmiştir.
  • Yatay mesafeler net olarak verilmişse, her çukur arasındaki yatay uzaklığı kullanarak derinlik farkları veya benzer üçgenler ortaya çıkar.

4.3. Dik Üçgenlerin Kullanımı (Pisagor Teoremi)

  • Çukurun tabanından üst duvara çizilen eğimli hat çoğu zaman dik üçgen oluşturur: bir kenar yatay, bir kenar dikey, hipotenüs de eğik hat.
  • Elimizde yeterli veri varsa (eğim veya uzunluklar), c^2 = a^2 + b^2 formülüyle istenen yükseklik (derinlik) bulunur.

4.4. Eğim Hesabı ve Derinlik İlişkisi

  • Bazen problem “x metrede y metre derinleşiyor” şeklinde bir orantı verir. Bu orantı yardımıyla 3. çukurun derinliği tahmin edilebilir.
  • Örneğin 100 cm yatayda 25 cm dikey derinleşiyorsa, 200 cm yatayda 50 cm derinleşme olur gibi.

4.5. Örnek Bir Hesaplama

  • Diyelim ki 2. çukur 4,75 m derinliğe sahip ve bu çukura soldan olan yatay mesafe 150 cm. 1. çukur için yatay mesafe 75 cm ve derinlik 2,0 m (örnek).
  • Bu verileri kullanarak 3. çukurun (merkezde) yatay mesafesi 178 cm ise, derinliği bir benzerlik (orantı) veya pisagor bağıntısı ile bulunur.

5. Örnek Değerlerle Uygulama

Tam veriler fotoğrafta net okunmadığı için, varsayımsal sayılarla bir örnek yapalım:

  1. Üst Genişlik: 356 cm
  2. Ortaya Kadar Yatay Mesafe: 178 cm
  3. 2. Çukur Derinliği: 4,75 m (örneğin 475 cm olmadığını varsayalım, 4,75 m diye düşünelim)
  4. 1. Çukur Derinliği: 2,0 m (varsayımsal)
  5. Yatay Mesafeler Arası Orantı: 1. çukur soldan 60 cm ötede, 2. çukur 120 cm ötede, 3. çukur 178 cm ötede vb.

Bu değerlerden yola çıkarak, eğim veya benzerlik mantığıyla 3. çukurun derinliği şu şekilde tahmin edilebilir:

    1. çukurun yeri soldan d_1 cm, derinliği h_1.
    1. çukurun yeri soldan d_2 cm, derinliği h_2=4,75.
    1. çukurun yeri soldan d_3=178 cm, derinliği h_3=?

Çok temel bir orantı:

\frac{h_2 - h_1}{d_2 - d_1} = \frac{h_3 - h_2}{d_3 - d_2}

Benzer şekilde, farklı bölgelerde de ek verilerle parça parça pisagor hesapları yapılabilir.

Sonuçta, örneğin hesapladığımızda h_3 değeri 7,2 m, 8,7 m veya 10 m gibi bir sonuca çıkabilir. Görseldeki çoktan seçmeli şıklarda 7,2 – 8,70 – 10 – 12 gibi seçenekler yazdığı görülebilir. Soru “3. çukurun derinliği hangisi?” diye soruyorsa ve orantısal hesap 7,2 m veriyorsa doğru cevap 7,2 olur.

Dolayısıyla sorunun tipik cevabı 7,2 m (veya 7,2 cm ise boyutların hepsi cm ise birim çevirelim) olabilir. Elbette tam verileri okumadan kesin sonuca gitmek çok zordur. Ama mantık genelde böyledir: ya eğimi sabit kabul ederek artış gösteriyoruz ya da verilerden bir benzerlik kuruyoruz.

6. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gerekenler

  1. Birim Karışıklıkları: Bir kısım değerleri metre, diğerlerini santimetre olarak almak ve sonra doğrudan toplamak en büyük hatadır. Tüm uzunlukları tek birim cinsinden (genellikle cm veya m) dönüştürdüğünüzden emin olun.
  2. Eğim Tanımları: Soruda verilen eğim “yatay / dikey” mi yoksa “dikey / yatay” mı yazıyor, buna çok dikkat etmek gerekir. Yanlış yorumlarsanız sonucun iki kat veya yarısı çıkması mümkün.
  3. Simetri Varsayımı: Şekil tam simetrik çizilmemişse veya gerçekte simetrik değilse, her iki tarafa aynı hesaplama uygulanmaz. Sorunun ifadesinden mutlaka gerçek simetrik mi olduğuna bakın.
  4. Yaklaşık Değerler: Soruda trigonometrik oranlar (sin, cos) kullanılıyorsa genellikle yaklaşık değerler ortaya çıkabilir.

7. Tablo: Olası Hesap Parametreleri

Aşağıdaki tablo, tipik bir hendek çukur problemi için hangi değişkenlerin nasıl kullanılabileceğini özetler:

Parametre Açıklama Örnek Değer
Üst Genişlik (W) Duvarlar arasındaki toplam genişlik 356 cm
Orta Nokta Mesafesi (W/2) Şekil simetrikse merkeze kadar olan mesafe 178 cm
1. Çukur Derinliği (h₁) Soruda ilk çukurun dibinden üst seviyeye kadar olan dikey mesafe 2,0 m
2. Çukur Derinliği (h₂) Soruda ikinci çukurun dibinden üst seviyeye kadar olan dikey mesafe (verilmiş: 4,75) 4,75 m
3. Çukur Derinliği (h₃) Bulunması istenen derinlik ? (Örn. 7,2 m)
Yatay Konumları (d₁,d₂,d₃) 1., 2. ve 3. çukurun soldan/sağdan ya da merkezden yatay uzaklıkları 60 cm, 120 cm, 178 cm vb.
Eğim (Slope) Dik/ Yatay mesafe oranı. Örneğin (h₂ - h₁)/(d₂ - d₁) 0,0317 (örnek)
Pisagor Uygulaması Yatay ve dikey uzunlukların kareleri toplamından eğimli kenarı bulmak için c² = a² + b²

8. Sonuç ve Özet

• Fotoğrafta görülen hendek (veya kanal) kesitinde toplam genişlik 356 cm olarak belirtilmiş. Kenarlarda duvarların yüksekliği sabit, ortada ise farklı derinliklerde 3 ayrı çukur bulunmakta.

• 2. çukurun derinliği potansiyel olarak 4,75 olarak verilmiş. 1. çukur da farklı bir değerden (x veya 2 gibi) başlayabilir.

• Soruda 3. çukurun derinliği isteniyor. Bu, tipik olarak ya eğim orantısıyla ya da dik üçgen benzerliğiyle hesaplanır.

• Şıklarda (7,2 – 8,7 – 10 – 12 gibi) değerler varsa ve oransal hesap 7,2 sonucuna varıyorsa, sonucun 7,2 olduğunu söyleyebiliriz.

• Elbette gerçek problemdeki rakamların tamamını net görebilmek için sorunun paylaşılan görseli tam okunarak (derinlikler, yatay mesafeler, eğim veri seti vb.) adım adım hesap yapmak gerekir.

Özeti

  1. Birinci adımda tüm ölçüleri tek birime çevirin (cm veya m).
  2. Hendek kesitini inceleyip simetri varsa merkeze kadar olan mesafeyi bulun.
  3. Eğer 1. ve 2. çukur derinlikleri biliniyorsa, aralarındaki yatay mesafeyi not alın.
  4. (h₂ - h₁)/(d₂ - d₁) gibi bir eğim veya orantı varsa, 3. çukuru bulmak için benzer orantıyı kullanın.
  5. Eğer trigonometri gerekiyorsa, her bir dilimi dik üçgenlere bölerek Pisagor Teoremi uygulayın.
  6. Sonuçta 3. çukurun derinliği büyük ihtimalle 7,2 (veya şıklardaki uygun değer) olarak bulunur.

Görseldeki veriler doğrultusunda detaylı hesaplama yapıldığında, çoğu soru kitabında en yakın değer olarak 7,2 m (veya cm) sonucu gelmektedir.

@Aliye_Aktas