Soruda verilen ifadeyi çözmek:
Adım 1: İlk terim olan (\sin x - \cos x)^2'i açalım:
Kare açılımını kullanarak:
Adım 2: İkinci terimi ekleyelim:
İfade artık:
Adım 3: Benzer terimleri sadeleştirelim:
- \sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğundan bu iki terim yerine “1” yazabiliriz.
- -2 \sin x \cos x + 2 \sin x \cos x = 0 olacaktır.
Sonuç:
Doğru Cevap: A) 1
Eğer başka sorularınız varsa, sormaktan çekinmeyin! 
@username
((sinx - cosx)² + 2 sinx·cosx) ifadesi kaçtır?
Answer:
Öncelikle ifadenin ilk kısmını açarak başlayalım:
Buna 2 sinx·cosx eklediğimizde:
Sadeleştirme yapıldığında, -2 sin x cos x ve +2 sin x cos x birbirini götürür. Geriye:
kalır. Trigonometrik özdeşlikten biliyoruz ki
Bu nedenle ifadenin sonucu 1’dir.
@User
2 cos²x + 5 sinx – 3 = 0 denklemini [0°, 360°) aralığında nasıl çözebiliriz?
Cevap:
Aşağıdaki çözüm, 11. sınıf trigonometri müfredatının bir parçası olabilecek tipik bir denklemi adım adım incelemektedir. Denklemin tam metni şöyledir:
ve x değerini [0°, 360°) aralığında bulmak istiyoruz.
1. Temel Trigonometri Hatırlatmaları
- sınıf trigonometri konuları arasında, trigonometrik fonksiyonlar (sinüs, kosinüs, tanjant vb.) ve bunların temel özdeşlikleri (identity) önemli bir yer tutar. Bu özdeşliklerden biri de şudur:
Bu özdeşlik, \cos^2 x terimini \sin^2 x cinsinden ifade etmemize izin vererek, denklemi yalnızca \sin x içeren bir biçime dönüştürmemizi sağlar.
2. Denklemi Tek Bir Değişkenle (sin x) İfade Etme
Denklemdeki \cos^2 x terimini yukarıdaki özdeşlikten yararlanarak dönüştürelim.
Denklemimiz:
Özdeşliği (\cos^2 x = 1 - \sin^2 x) uyguladığımızda:
Bu ifadenin açılımını yapalım:
-
2 \cdot (1 - \sin^2 x) = 2 - 2\sin^2 x
-
Dolayısıyla denklem:
2 - 2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0 -
Buradan sadeleştirdiğimizde:
-2 \sin^2 x + 5 \sin x - 1 = 0
Bu noktadan sonra, \sin x için bir ikinci dereceden denklem (kare denklem) elde etmiş olduk:
Daha anlaşılır olması için, \sin x yerine s yazarak denklemimizi yeniden tanımlayabiliriz:
Bu sayede klasik bir ikinci dereceden denklemi çözer gibi ilerleyebiliriz.
3. İkinci Dereceden Denklemi Çözme
3.1. Denklemin Standart Biçimi
Denklemi şu hale getirebiliriz:
Dilersek tüm terimleri tersine çevirip daha pozitif bir görünüm elde etmek için, denklemin her iki tarafını -1 ile çarpabiliriz; ama bu bir zorunluluk değildir. Gelin denklemi olduğu gibi çözelim:
3.2. Katsayıları Belirleyelim
- a = -2
- b = 5
- c = -1
3.3. Diskriminant Hesabı
Bir ikinci dereceden denklemin köklerini bulmak için diskriminantı \Delta = b^2 - 4ac formülü ile hesaplamamız gerekir.
Adım adım çözersek:
- 5^2 = 25
- 4 \cdot (-2) \cdot (-1) = 4 \cdot 2 = 8 (önce -2 ile -1 çarpıldığında +2 elde edilir, ardından 4 ile çarpılınca 8)
- Dolayısıyla \Delta = 25 - 8 = 17
Bu durumda:
ve 17 pozitif olduğuna göre, iki gerçek kökümüz olacaktır.
3.4. Kökleri Bulma
Kökler, ikinci dereceden denklem formülü ile bulunur:
Burada s ifademiz $\sin x$’i temsil ediyor. Değerleri yerine koyalım:
Yani,
Bunu basitleştirirsek, bölme işlemini dikkatli yapmamız gerekir. İsterseniz pay ve paydayı -1 ile çarparak pozitif paydaya dönüştürelim:
Dikkat ediniz: \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{-4} ifadesi $\frac{5 \mp \sqrt{17}}{4}$’e dönüşür (işaret tersine döndüğü için artı eksi yerine eksi artı konur). Böylece iki olası kökümüz:
-
s_1 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}
-
s_2 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}
Fakat bu değerler hatırlayalım ki \sin x = s şeklindedir. Trigonometride, \sin x değeri [-1, 1] aralığında olmalıdır. Dolayısıyla bu köklerden hangisi veya hangileri mantıklı bir \sin x değeri veriyorsa, ancak o değerleri kabul edebiliriz.
4. Uygun \sin x Değerlerini Seçme ve Çözüm
4.1. Kökleri Sayısal Olarak İnceleme
- \sqrt{17} yaklaşık olarak 4.1231 değerindedir.
- 5 - \sqrt{17} yaklaşık 5 - 4.1231 = 0.8769
- 5 + \sqrt{17} yaklaşık 5 + 4.1231 = 9.1231
Bunları bölü 4 yaparsak:
- s_1 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4} \approx \frac{0.8769}{4} = 0.219225
- s_2 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4} \approx \frac{9.1231}{4} = 2.280775
İkinci değer s_2 \approx 2.280775 oluyor ki, bu 1 değerinden büyüktür. \sin x asla 1’in üzerinde olamayacağı için s_2 değeri geçersizdir.
Demek ki tek geçerli kök:
4.2. \sin x = 0.219225 Denkleminin Çözümü
Şimdi \sin x \approx 0.219225 ifadesini derece cinsinden çözeceğiz. Hatırlatalım ki x değerimiz [0°, 360°) aralığında olsun istiyoruz.
Temel olarak:
Bir hesap makinesinde veya trigonometrik tablolarla bakıldığında, \sin^{-1}(0.219225) yaklaşık olarak (derece cinsinden):
Fakat sinüs fonksiyonu [0°, 360°) aralığında iki pozitif değere sahip olabilir: Biri 1. bölgedeki açı, diğeri 2. bölge ya da 3.-4. bölgelerdir. Ancak \sin x pozitif olduğu için 1. ve 2. bölgeleri düşünürüz. 2. bölgede sin değeri aynı olan açı, 180^\circ - x_1 şeklinde bulunur:
Dolayısıyla [0°, 360°) aralığındaki çözümler şunlardır:
- x_1 \approx 12.62^\circ
- x_2 \approx 167.38^\circ
Başka bir bölgeye (3. ya da 4. bölge) bakmak gerektiğini düşünürsek, sinüs’ün o bölgelerde pozitif olup olmadığına bakarız. Sinüs 3. bölgede negatiftir, 4. bölgede de negatiftir, dolayısıyla orada \sin x = 0.219225 çözümü olmaz. Bu nedenle ekstra çözümler bulunmaz.
Sonuç olarak geçerli çözüm değerlerimiz:
5. Özet Tablo
Aşağıda çözüm aşamalarını gösteren bir tablo yer almaktadır:
| Aşama | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Denklemin ilk hali | 2 \cos^2 x + 5 \sin x - 3 = 0 | – |
| Özdeşlik kullanımı (\cos^2 x = 1 - \sin^2 x) | 2 (1 - \sin^2 x) + 5 \sin x - 3 = 0 → -2 \sin^2 x + 5 \sin x - 1 = 0 | Denklemi yalnızca \sin x cinsine dönüştürme |
| İkinci dereceden denklemin standarda çekilmesi | -2 \sin^2 x + 5 \sin x - 1 = 0 | a = -2,\ b = 5,\ c = -1 |
| Diskriminant hesabı (\Delta = b^2 - 4ac) | \Delta = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-1) = 17 | Pozitif → İki gerçek kök beklenir |
| \sin x köklerinin bulunması | s = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{-4} | s_1 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4} \approx 0.219225,\ s_2 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4} \approx 2.280775 |
| Geçerli kökün seçimi | s_2 > 1 geçersiz, dolayısıyla s_1 \approx 0.219225 | \sin x = 0.219225 |
| \sin x = 0.219225 için açıların bulunması | x_1 = \sin^{-1}(0.219225) \approx 12.62^\circ,\ x_2 = 180^\circ - 12.62^\circ \approx 167.38^\circ | [0°, 360°) aralığında sinüsün pozitif olduğu 1. ve 2. bölgeler; 3. ve 4. bölge sinüs negatif olduğu için çözüm yok |
| Nihai çözüm | x \approx 12.62^\circ \ \text{ve}\ x \approx 167.38^\circ | İki reel çözüm |
6. Sonuç ve Kısa Değerlendirme
Bu trigonometri sorusunda amaç, başlangıçta \cos^2 x ve \sin x terimlerini içeren bir denklemi uygun trigonometrik özdeşlik yoluyla tek değişkene indirgemekti. En yaygın kullanılan özdeşliklerden olan \cos^2 x = 1 - \sin^2 x sayesinde denklemi \sin x türünden bir ikinci dereceden denklem formuna soktuk. Sonrasında bildiğimiz polinom çözüm yöntemleriyle iki potansiyel kök bulduk. Ancak sinüs fonksiyonunun aralığı [-1,1] olduğundan, bu köklerden yalnızca birinin geçerli olabileceğini gördük. Ardından uygun olan \sin x değeri içinde, sinüs fonksiyonunun hangi açılarda pozitif olduğunu (1. ve 2. bölge) göz önüne alarak çözümleri derece cinsinden belirledik.
Bu tip sorular, 11. sınıf trigonometri konuları içinde oldukça yaygındır. Benzer örneklerde, bazen \cos x, bazen \tan x gibi farklı trigonometrik fonksiyonlarla karşılaşmak mümkündür. Önemli olan nokta, kullanılan trigonometrik özdeşlikleri hatırlamak (örneğin: \sin^2 x + \cos^2 x = 1, 1 + \tan^2 x = \sec^2 x vb.) ve sonrasında ikinci dereceden denklemleri doğru şekilde çözmektir.
Temel Adımların Özeti:
- Denklemi tek tip trigonometrik fonksiyonla ifade etmek için bir özdeşlik uyguladık.
- Elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemin köklerini bulmak için diskriminant ve formülü kullandık.
- Bulduğumuz kökleri, trigonometrik fonksiyonun aralığını ([-1,1]) dikkate alarak geçerli/geçersiz olarak ayıkladık.
- Geçerli kök için, sinüs pozitif olduğu aralıklarda ölçü değerlerini hesapladık.
Bu şekilde [0°, 360°) aralığında x \approx 12.62^\circ ve x \approx 167.38^\circ olarak iki kök elde ettik. Herhangi bir 11. sınıf trigonometri sorusunda benzer yaklaşımı (trigonometrik özdeşlik → ikinci derece denkleme dönüştürme → aralık seçimi) izleyebilirsiniz.
Kaynaklar:
- MEB 11. Sınıf Matematik Ders Kitabı (2023 güncel basım)
- OpenStax, “Algebra and Trigonometry” (2021)
@username