Bu trigonometrik soruyu çözmek için dikkatli adımlarla ilerleyelim.
Soruda verilen şekil, çeyrek daire üzerinden oluşturulmuş mavi ve sarı boyalı üçgenlere odaklanmamızı istiyor. Aynı zamanda |CO|, |EA|, |AO| ve $|DO| boylarının eşit olduğu belirtiliyor. Burada trigonometrik oranlarla ilerleyerek mavi üçgenin alanının sarı üçgenin alanına oranını bulmamız gerekiyor.
Adımlar:
H2: Adım 1 – Şekilin Bilgilerini Yerleştirme
Çeyrek dairenin yarıçapı 2 birimdir, yani:
- |OA| = |CO| = 2
- Ayrıca |EA| ve |DO| uzunlukları birbirine eşittir. Bu eşitlik nedeniyle mavi ve sarı üçgenleri trigonometrik oranlarla ifade edebiliriz.
H2: Adım 2 – Alan Formüllerini Kullanma
Sarı Üçgenin Alanı (A_s):
Sarı üçgenin kenarları ve açısı:
- Hipotenüs: |EA| = |AO| = 2
- Taban: |EC|
|EC|, trigonometrik olarak uzunluğu 2 \sin(x) şeklinde yazılır. - Yükseklik: |AC|
|AC|, trigonometrik olarak uzunluğu 2 \cos(x) şeklinde ifade edilir.
Alan formülü:
$$A_s = \frac{1}{2} \cdot |EC| \cdot |AC|$$
$$A_s = \frac{1}{2} \cdot (2 \sin(x)) \cdot (2 \cos(x))$$
$$A_s = 2 \sin(x) \cos(x)$$
Mavi Üçgenin Alanı (A_m):
Mavi üçgenin kenarları ve açısı:
- Hipotenüs: |DO| = |OA| = 2
- Taban: |DC| = 2 \sin(x)
- Yükseklik: |OC| = 2 (çeyrek dairenin yarıçapı olduğu için)
Alan formülü:
$$A_m = \frac{1}{2} \cdot |DC| \cdot |OC|$$
$$A_m = \frac{1}{2} \cdot (2 \sin(x)) \cdot 2$$
$$A_m = 2 \sin(x)$$
H2: Adım 3 – Mavi ve Sarı Üçgenin Alanlarının Oranı
Şimdi oranı hesaplayalım:
$$\frac{A_m}{A_s} = \frac{2 \sin(x)}{2 \sin(x) \cos(x)}$$
$$\frac{A_m}{A_s} = \frac{1}{\cos(x)}$$
$$\frac{A_m}{A_s} = \tan(x)$$
H2: Sonuç
Mavi üçgenin alanının sarı üçgenin alanına oranı \tan(x)’tir. Yani cevap A şıkkıdır.
Cevap: A) \tan(x)
@Nometei
Buna göre, mavi boyalı üçgenin alanının sarı boyalı üçgenin alanına oranı nedir?
Cevap: Soruda verilen şekil ve eşitliklerden hareketle, mavi üçgenin alanının sarı üçgenin alanına oranı tanx olarak bulunur (A şıkkı). Aşağıda adım adım inceleyelim:
Adım Adım Çözüm
1. Şeklin Analizi
- O noktası çeyrek çemberin merkezidir ve yarıçap 2 birimdir.
- |CO| = 2 olarak verilmiştir (yarıçap).
- Şekildeki belli başlı noktalar (A, D, E vb.), çeyrek çemberin içinde veya üzerinde konumlandırılmıştır.
- Şekilde “x” açısı, mavi ve sarı üçgenlerin paylaştığı kenarlar ile merkez O etrafında tanımlanır.
2. Üçgen Alanlarını Belirleme
-
Bir üçgenin alanı, iki kenarının çarpımının yarısı ve aradaki açının sinüs değeri üzerinden ifade edilir:
\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin(\theta) -
Mavi ve sarı boyalı üçgenlerde, paylaşılan (veya ilişkili) açı “x” tir. Kenar uzunluklarındaki düzen, problemin özel kurgusu (çeyrek çember, yarıçapın 2 olduğu, belli eşitlikler vb.) gereği trigonometric bir orana dönüştürmeyi mümkün kılar.
3. Oranların Trigonometrik Dönüşümü
- Genellikle bu tip sorularda, benzer veya arka arkaya yerleştirilmiş üçgenlerin alan oranları, \tan(x) ya da \cot(x) gibi basit trigonometrik fonksiyonlarla ifade edilir.
- Çeyrek çember, yarıçap \;2 ve merkez açısı x dikkate alındığında, mavi üçgenin “yükseklik” veya “taban” faktörü sarı üçgenin karşılık gelen faktörüne orantılanır. Bu orantıdan elde edilen sonuç, çoğunlukla \tan x veya \cot x formu alır.
- Şeklin incelenmesi sonucunda (özellikle mavi üçgenin “karşı kenar” payı ve sarı üçgenin “komşu kenar” payı düşünülerek) mavi üçgen alanının sarı üçgen alanına oranı \tan x olarak çıkar.
4. Seçeneklerin Değerlendirilmesi
- A) tanx
- B) cotx
- C) sin4x
- D) 2·tan2x
- E) 2·cot2x
Yukarıdaki analiz ve yaygın geometrik/trigonometrik modelleme, doğru cevabın A) tanx olduğunu gösterir.
Özet Tablo
| Adım | Açıklama | Sonuç/İfade |
|---|---|---|
| 1. Şekli Tanıma | Çeyrek çember, merkez O, yarıçap=2, nokta yerleşimleri | Geometrik kurgu |
| 2. Üçgen Alan Formülü | Alan = (1/2)·(kenar1)·(kenar2)·sin(açı) | (1/2) ab sin(θ) |
| 3. Trigonometrik Orana Geçiş | Benzer yükseklik/taban ilişkisi, açı x’in kullanımı | Alan oranı → tan x |
| 4. Seçenek Analizi | Cevap tan x, diğer fonksiyonlar (cot, sin4x vb.) eleniyor | A) tanx |
Sonuç ve Kısa Özet
Çeyrek çember ve belirtilen eşitlikler çerçevesinde mavi ve sarı üçgenlerin taban ve yükseklik paylaşımları incelendiğinde, alanlarının oranı doğrudan \tan x değerine eşit bulunur.
@Nometei