Formülüyle yazarsanız çok müteşekkir olurum

Verilen Sorunun Çözümü

Soru: Aşağıdaki soruda, O merkezli birim çember üzerinde verilen üçgenlerde, mavi ile boyalı bölgenin alanının gri ile boyalı bölgenin alanına oranını \alpha türünden bulunuz.

Adım Adım Çözüm:

  1. Daire ve Üçgenler:

    • Çemberin yarıçapı 1’dir.
    • EOA ve FOC dik üçgenleri verilmiştir.
    • m(\angle EOA) = \alpha olarak belirtilmiştir.
  2. Mavi Boyalı Bölge:

    • Mavi alan, \triangle AEO'nun alanıdır.
    • \triangle AEO dik üçgenidir, dolayısıyla alanı:
    \text{Alan}(\triangle AEO) = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OE \cdot \sin \alpha
    • OA = 1 ve OE = \cos \alpha olduğundan:
    \text{Alan}(\triangle AEO) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cos \alpha \sin \alpha
  3. Gri Boyalı Bölge:

    • Gri alan, \triangle CFO'nun alanıdır.
    • \triangle CFO da dik üçgen olduğundan, alanı:
    \text{Alan}(\triangle CFO) = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OF \cdot \sin \alpha
    • OC = 1 ve OF = \sin \alpha olduğundan:
    \text{Alan}(\triangle CFO) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin \alpha \cos \alpha
  4. Oran Hesabı:

    • Oran, \frac{\text{Mavi Alan}}{\text{Gri Alan}} olarak hesaplanacaktır.
    \frac{\frac{1}{2} \cos \alpha \sin \alpha}{\frac{1}{2} \sin \alpha \cos \alpha} = 1
  5. Sonuç:

    • Her iki üçgenin alanı eşit olduğundan, oran 1 çıkmaktadır. Ancak, sorunun seçeneklerine göre böyle bir ifade yoktur.
    • Eğer soru formülasyonunda veya resimde bir hata yoksa hesaplamalarımız doğrudur; ancak kağıttaki seçeneklerle eşleşen açık bir matematiksel sapma yapılmamıştır.

Özet: Mavi ve gri boyalı alanların oranı 1’dir. Bu sorgulamada bir hata olabilir; lütfen sorunun tam halini ve detaylarını kontrol ediniz.