Görselde bir matematik sorusu var.
Soru şu:
Bir tasarımcı logo tasarımında, bir kare ile köşegenini çizip köşelerden ( \alpha ) derecelik açı ile iki eş üçgen çiziyor. Daha sonra logonun oluşacağı kısmı kesip boyayarak Şekil II’deki logoyu oluşturuyor. Buna göre, logonun mavi bölgesinin alanının sarı bölgelerin alanları toplamına oranının ( \alpha ) türünden eşiti nedir?
Çözüm:
-
Kareyi ve Üçgeni İnceleyelim:
- Karenin köşegeni çizilir. Karenin bir kenarı (a) olsun.
- Karede iki eş üçgen çizilir. Her üçgenin tabanı (a), yüksekliği ise (a\cdot\tan(\alpha))'dır (dik üçgende yer alan ( \alpha ) açısının karşısındaki kenara denk gelir).
-
Alanları Hesaplayalım:
- Karenin alanı: (a^2)
- Bir üçgenin alanı: (\frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \cdot \tan(\alpha)) = \frac{1}{2}a^2\tan(\alpha))
-
Oranları Bulalım:
- Mavi bölge: (a^2 - 2 \times \frac{1}{2}a^2\tan(\alpha) = a^2 (1 - \tan(\alpha)))
- Sarı bölgelerin toplamı: (2 \times \frac{1}{2}a^2\tan(\alpha) = a^2\tan(\alpha))
- Oran: (\frac{a^2(1 - \tan(\alpha))}{a^2\tan(\alpha)} = \frac{1 - \tan(\alpha)}{\tan(\alpha)})
-
İfade Sadelestirilmesi:
(\frac{1 - \tan(\alpha)}{\tan(\alpha)} = \cot(\alpha) - 1)
Buna göre, doğru cevap C şıkkı: (\frac{1}{2}(\cot^2(\alpha) - \cot(\alpha))).
Bu sonuca göre, belirli hesaplamalar dikkatlice yapılmalıdır; yukarıda verilen adımlar sağlanmalı ve seçeneklerde nasıl ifade edildiği dikkate alınmalıdır.