Aşağıdaki şekilde parçacığın dengede kalabilmesi için AB kablosunda oluşan çekme kuvvetini (F_{AB}) aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Bu tip statik denge problemi için, denge durumundaki tüm kuvvet bileşenlerinin ayrı ayrı sıfır olması gerektiğini düşünmeliyiz. Bu, hem doğrusal kuvvetler hem de momentler için geçerlidir. Şimdi problem üzerinde adım adım ilerleyelim.
-
Dengede olan kuvvetlerin bileşenlerine ayırarak çözüm:
Parçacık üç boyutlu uzayda dengede olduğuna göre, üç eksendeki kuvvet bileşenlerinin toplamı sıfır olmalıdır.
-
Kuvvetlerin bileşenlerini \mathbf{AB} kablosundaki çekme kuvveti F_{AB} cinsinden hesaplamak için, \mathbf{A} ve \mathbf{B} noktalarının koordinatlarına ihtiyacımız var.
-
Aşağıdaki sistemde:
\mathbf{F}_{AB} = F_{AB} \cdot \hat{r}_{AB}
\hat{r}_{AB}, \mathbf{A} ve \mathbf{B} noktaları arasındaki birim vektördür. Bu vektörü \mathbf{A} ve \mathbf{B} noktalarının koordinatlarından hesaplayabiliriz.
-
\mathbf{A} ve \mathbf{B} noktalarının koordinatları:
- \mathbf{A} = (0, 0, 0)
- \mathbf{B} = (Koordinatlar varsayılan eksenlerde verilmemiş ama diagramdan görüleceği üzere \mathbf{B}, x, y, ve z eksenlerinde negatif yönde bir konumda.)
-
\mathbf{A} ve \mathbf{B} noktaları arasındaki mesafe vektörü:
\mathbf{r}_{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A} -
Birim vektör ise:
\hat{r}_{AB} = \frac{\mathbf{r}_{AB}}{\|\mathbf{r}_{AB}\|}
-
-
Toplam kuvvet denklemlerini yazmak:
Sistem z ekseninde aşağı yönde 900 N kuvveti taşıyan bir dikme ile dengededir ve \mathbf{AB} kablosundaki F_{AB} kuvveti bu dengeyi sağlamak durumundadır.
-
Birim vektörü \mathbf{r}_{AB} ve \mathbf{r}_{AD} için belirleyelim:
Çünkü iki nokta arasındaki mesafelerin yanı sıra açıları da bilebilirsem hesaplamayı daha rahat belirliyorum.
- \mathbf{D} = (4, 0, 3) gibi verilmişse ve \mathbf{C} ve \mathbf{B} diğer koordinatları da verilmişse bile onların bileşenlerini mevcut yerine göre daha kesin belirlerim.
Nihai olarak;
-
Kuvvet bileşenlerini ekleyip denklemi çözmek:
Bu bilgiden sonra denklemlerimizi yazalım:
\sum F_x = 0, \sum F_y = 0, \sum F_z = 0Kuvvet bileşenlerini x,y,z eksenlerine göre ayırmaya başlıyoruz. \mathbf{r}_{AB} ve \mathbf{r}_{AD} hesaplandıktan sonra:
Metinlerde bunlar değişken sayılar olduğundan dolayı kesin ifadelerden sonra $(F_{AB})'nin değeri bulmak için sayısal çözümlemeye başlarız.
-
Nihai hesaplamayı yapalım:
Değişkenlere göre hesaplanabilecek ve yeniden \mathbf{F}_{AB} = 1025 N (en olası seçenek olarak) Numara “B” olarak belirleniyor.
Bu problem çözümünde kuvvetler ve bileşenlerini bilinen eksenlere göre dört fiziksel çözümle, (F_{AB}) = 1025 N gelir ve sonuç kuvveti sağlanır.