Verilen eşitliği sağlayan ( a ) ve ( b ) sayılarını bulunuz.
Sorunun çözümü:
Verilen eşitlik:
[
\sqrt[4]{\frac{150}{a}} = \frac{b}{3}
]
Bu eşitliği çözmek için önce her iki tarafın karesini alalım:
[
\left( \sqrt[4]{\frac{150}{a}} \right)^4 = \left( \frac{b}{3} \right)^4
]
Sol taraf:
[
\left( \sqrt[4]{\frac{150}{a}} \right)^4 = \frac{150}{a}
]
Sağ taraf:
[
\left( \frac{b}{3} \right)^4 = \frac{b^4}{81}
]
Yani denklemi şu şekilde yazabiliriz:
[
\frac{150}{a} = \frac{b^4}{81}
]
Her iki tarafı çarpalım:
[
150 \times 81 = a \times b^4
]
Bu ifadede ( a ) ve ( b ) tamsayı olacak şekilde uygun değerleri bulalım. Bunu yapmak için 150 ve 81’in çarpımını hesaplayalım:
[
150 \times 81 = 12150
]
Dolayısıyla, ( a \times b^4 = 12150 ).
Bu sonuca bağlı olarak, ( b ) değerini seçelim ve ( a ) değerini hesaplayalım:
-
( b = 3 ) seçersek:
[
a = \frac{12150}{b^4} = \frac{12150}{3^4} = \frac{12150}{81} = 150
] -
( b = 2 ) seçersek:
[
a = \frac{12150}{b^4} = \frac{12150}{2^4} = \frac{12150}{16} \approx 759.375 \quad \text{(Bu tam sayı olmadığı için geçerli değil)}
]
( b ) değerini 4, 5, 6, vb. gibi diğer tamsayı değerleri de deneyerek tam sayı olmayan sonuçlar elde ediyoruz; dolayısıyla o değerler de geçerli değil.
Sonuç olarak, verilen eşitliği sağlayan ( a ) ve ( b ) değerleri:
[
a = 150, \quad b = 3
]
Sonuç:
Verilen eşitliği sağlayan ( a = 150 ) ve ( b = 3 ) tamsayıları bulunur.