Analitik düzlemde x + 2y - 2 = 0 doğrusu ile 4x + 2y + 5 = 0 doğrusuna eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesinin geometrik yer denklemlerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
İki doğru arasındaki eşit uzaklıktaki noktalar kümesi, bu iki doğrunun açıortay doğruları olacaktır. Açıortay doğrusu denklemi [ \frac{{\left| \frac{{x+2y-2}}{{\sqrt{1^2 + 2^2}}} \right| = \left| \frac{{4x+2y+5}}{{\sqrt{4^2 + 2^2}}} \right|}} ] şeklinde hesaplanabilir.
Adım 1: İki Doğrunun Normal Denklem Denklemleri
- ( D_1: x + 2y - 2 = 0 )
- ( D_2: 4x + 2y + 5 = 0 )
Adım 2: Açıortay Denklemi Elde Etme
Normal denklem formuna göre, iki doğrunun açıortay denklemi elde edilerek aşağıdaki gibi yazılır:
[
\frac{{x + 2y - 2}}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \pm \frac{{4x + 2y + 5}}{{\sqrt{4^2 + 2^2}}}
]
Bu denklemleri sadeleştirerek bulalım:
Bu durumda denklemler iki olasılık için şöyle yazılabilir:
- [
\frac{{x + 2y - 2}}{\sqrt{5}} = \frac{{4x + 2y + 5}}{\sqrt{20}}
]
veya
- [
\frac{{x + 2y - 2}}{\sqrt{5}} = -\frac{{4x + 2y + 5}}{\sqrt{20}}
]
Adım 3: Çözümleme
Her iki durumu da inceleyip çözümü sadakatle bulmak için denklemi doğru şekle getiriyoruz.
- Durum Belirleme:
Denklemleri içler çarpımı yöntemiyle çözerek:
[
(x + 2y - 2) \cdot \sqrt{20} = (4x + 2y + 5) \cdot \sqrt{5}
]
Sonuçta elde ederiz:
( \sqrt{20}(x + 2y - 2) = \sqrt{5}(4x + 2y + 5) )
Kısmını çözerek:
[ 2x - 2y + 9 = 0 ]
Alternatif olarak:
[ x - 2y - 1 = 0 ]
Gerekli çözümle bu doğru ile eşleşen seçenek:
Sonuç:
Bu durumda doğru cevap ( C ) seçeneği çıkan denklem olacaktır.
Sonuç:
2x - 2y + 9 = 0 denenmiştir ve doğru cevap belirlenmiştir.