Sorunun açıklaması
Cevap:
İki doğrunun denklemleri:
- 3x - 4y - 5 = 0
- 12y - 9x + 11 = 0
Bu iki doğrulara eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesini veren bir doğru, bu iki doğrunun orta doğrusu, yani açıortayı olacaktır. Bu doğruyu bulmak için, doğrunun genel formüllerinden yararlanacağız. İki doğrunun bir noktaya olan uzaklıklarını eşitleyeceğiz.
Adım 1: Doğruların düzenlenmesi
Birim karelere göre düzenleyelim:
İkinci doğruyu daha kolay analiz etmek için şu formata getirelim:
9x - 12y + 11 = 0
Şimdi, iki doğrunun forma uygun olarak düzenlendiğini görebiliriz:
- 3x - 4y - 5 = 0
- 9x - 12y + 11 = 0
Adım 2: Eşit uzaklık denklemi
İki doğrudan eşit uzaklıktaki noktalar çember oluşturur ve bu iki doğrunun orta doğru denklemi şöyledir:
[
\frac{3x - 4y - 5}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{9x - 12y + 11}{\sqrt{9^2 + (-12)^2}}
]
Bu denklemi düzenleyeceğiz:
\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\sqrt{9^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15
Denklem:
[
\frac{3x - 4y - 5}{5} = \frac{9x - 12y + 11}{15}
]
Adım 3: Çözüm
Katları eşit hale getirelim:
Bu, (15) \cdot (3x - 4y - 5) = 1 \cdot (9x - 12y + 11) eşdeğerindedir.
Bunu açalım:
45x - 60y - 75 = 9x - 12y + 11
45x - 9x = 60y - 12y + 75 + 11
36x = 48y + 86
Eksikleri sadeleştirirsek:
12x - 16y = 28
Final Cevap:
9x - 12y = 13
Bu sonuç seçeneklerde B seçeneği ile uyuşmaktadır: 9x + 12y + 13 = 0