Analitik düzlemde x + 2y - 2 = 0 doğrusu ile 4x + 2y + 5 = 0 doğrusuna eşit uzakta bulunan noktalar kümesinin geometrik yer denklemlerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
İki doğruya da eşit uzaklıktaki noktalar kümesini bulmak için bu iki doğrunun orta dikmesini bulmalıyız. İki doğrunun denklemi:
- x + 2y - 2 = 0
- 4x + 2y + 5 = 0
Bu iki doğrunun eğimlerini bulalım. Genel doğru denklemi Ax + By + C = 0 formundadır ve eğimi -\frac{A}{B} şeklinde bulunur.
- Doğru: Eğimi: -\frac{1}{2}
- Doğru: Eğimi: -2
Bu iki doğrunun kesişim noktasını bularak, bu noktadan geçen ve doğrusallıklarını dikkate alarak orta dikmenin denklemini bulmamız gerekiyor.
- ve 2. Doğruların Kesişim Noktasını Bul:
-
Kesişim noktası, iki denklemin sistemi çözülerek bulunur.
-
x + 2y - 2 = 0 ve 4x + 2y + 5 = 0 eşitliğinde şu sistem çözülmelidir:
İlk denklem: x + 2y = 2
İkinci denklem: 4x + 2y = -5
İkinci denklemden ilk denklemi çıkartarak:
4x + 2y - (x + 2y) = -5 - 23x = -7
x = -\frac{7}{3}
-
Bulduğumuz x değerini yerine koyarak y'yi bulalım:
x + 2y = 2
-\frac{7}{3} + 2y = 2
2y = 2 + \frac{7}{3} = \frac{13}{3}
y = \frac{13}{6}
Kesişim noktası (-\frac{7}{3}, \frac{13}{6}) olacaktır.
Orta Dikme:
Orta dikme bu noktadan geçmeli ve iki doğru arasındaki açıya dik olmalıdır. İki doğrunun orta dikmesi, bu doğrunun orta noktalarından dik açı yapan doğrudur. Orta dikmenin eğimi iki doğru arasındaki dik açıya dik olduğundan, eğimi:
- eğim: m = -\frac{1}{2}
- eğim: m_2 = -2
Orta dikmenin eğimi m_0 = -1, çünkü iki eğim de birbirinin tersi olmalı.
Aşağıdaki adımlar izlenir:
Orta noktayı ve eğimi kullanarak orta dikmenin denklemini bulmalıyız. Ancak, bu durumda verilen opsiyonlardan denklemleri değerlendirerek eşleşen bir denklem aramamız gerekir. Geometrik yer denklemi:
2x - 2y + 9 = 0 olan seçenek uygulanarak,
verilen şıklardan doğruluk kontrol edilir. Cevap:
Sonuç:
Geometrik yer denklemlerinden C seçeneği uygundur:
2x - 2y + 9 = 0