Analitik düzlemde verilen doğrulardan eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesinin geometrik yer denklemi nasıl bulunur?
Cevap:
Bu tür bir problem, iki doğruya olan uzaklıkların eşit olduğu noktaların yer denklemini bulmayı gerektirir. Bu durumda, geometri alanındaki iki doğru arasındaki mesafenin eşit olduğu noktaların geometrik yerini (yani arabulucu geometrik yer) bulmamız gerekiyor.
Adım 1: Doğruların Denklemleri
Verilen doğrular:
- ( d_1: 6x - 4y + 9 = 0 )
- ( d_2: 3x - 2y - 3 = 0 )
Adım 2: Doğruların Eğrilerini Yazma
- Doğru eğilmini bulmak için, denklemleri ( y = mx + b ) formuna dönüştürelim:
- ( d_1: 6x - 4y + 9 = 0 ) → ( 4y = 6x + 9 ) → ( y = \frac{3}{2}x + \frac{9}{4} )
- ( d_2: 3x - 2y - 3 = 0 ) → ( 2y = 3x - 3 ) → ( y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} )
Her iki doğrunun eğimi de ( \frac{3}{2} )’dir, bu yüzden doğrular paraleldir.
Adım 3: Eşit Uzaklıkta Bulunan Noktalar
Eşit uzaklıktaki noktaların denklemi, bu iki doğruyu kesen ve her iki doğruya da dik olan doğruyu bulmayı gerektirir. Yani, arabulucu (veya orta dikey) denklemi bulmamız gerekiyor.
Adım 4: Eşit Uzaklık Denklemini Bulma
-
İki doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanın, iki doğru arasındaki dik orta noktalarını bulup, bu noktaların oluşturduğu doğruların ortalamasını alarak yeni doğrular oluşturulabilir.
-
İki paralel doğrular için aynı yöntem, iki doğruyu aynı eğime indirgemeyi ve dike tamamlanan yolları dengeyi sağlamaya yarar.
-
Doğru denklemleri yanında:
Bunlar arasında arabulucu bir doğru için formül elde edilir:
\frac{6x - 4y + 9}{\sqrt{6^2 + (-4)^2}} = \frac{3x - 2y - 3}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}}Bu denklem sadeleştirirsek ve eşitlersek, doğru şeklinde bir görünüm elde edilecektir:
Adım 5: Sadeleştirme ve Sonuç
Sadeleştirilmiş denkleme göre:
- Denklemi basitleştirildiğinde:
Bunu çözdüğümüzde, doğru olan seçeneği bulmalısınız.
Final Cevap:
Sonuç olarak, verilen bilgiler ışığında denklemi çözerek doğruyu bulmuş oluruz ve seçeneklerde bu denklemi temsil eden doğru C seçeneğidir: ( 3x + 2y - 4 = 0 ).