altın madalyaların 40 ı altın diğer kısmı ise gümüştür, gümüş madalyaların ise 100 ü gümüştür.bir spor müsabakasına katılan Ali bir tane gümüş bir tane altın madalya kazanmıştır.madalyaların kütleleri eşit olup Ali nin kazandığı madalyalardaki toplam gümüş miktarı 32 gramdır.
buna göre bir tane madalyanın kütlesi kaç gramdır ?
Sorunun Çözümü:
Soruyu anlayalım:
- Altın madalyaların %40’ı altın: Geri kalan kısmı (%60) gümüş.
- Gümüş madalyaların %100’ü gümüş.
- Ali, bir gümüş madalya ve bir altın madalya kazanmış.
- İki madalyanın toplam gümüş miktarı 32 gram olarak verilmiş.
- Soru şu: Bir madalyanın toplam kütlesi kaç gramdır?
Çözüm:
Adımlarımızı düzenli bir şekilde çözelim:
1. Altın madalyanın gümüş miktarını bulalım:
Bir altın madalyanın %60’ı gümüş olduğu belirtilmiş. Eğer bir madalyanın toplam kütlesini x gram olarak kabul edersek, altın madalyadaki gümüş miktarı:
\text{Altın Madalya Gümüş Miktarı} = 0,6x
2. Gümüş madalyanın gümüş miktarını bulalım:
Gümüş madalyanın tamamı (%100’ü) gümüş. Yani gümüş madalyadaki gümüş miktarı:
\text{Gümüş Madalya Gümüş Miktarı} = x
3. Toplam gümüş miktarını kullanarak denklemi kur:
Ali’nin kazandığı iki madalyanın toplam gümüş miktarının 32 gram olduğu belirtilmiş. Dolayısıyla:
\text{Altın Madalya Gümüş Miktarı} + \text{Gümüş Madalya Gümüş Miktarı} = 32
Yazalım:
0,6x + x = 32
Bu denklemi basitleştirelim:
1,6x = 32
4. Bir madalyanın kütlesini bul:
Denklemi çözmek için x değerini bulalım:
x = \frac{32}{1,6}
x = 20
Sonuç:
Bir madalyanın toplam kütlesi 20 gramdır.
Kontrol:
- Altın madalyadaki gümüş miktarı:
0,6 \cdot 20 = 12 \, \text{gram}
- Gümüş madalyadaki gümüş miktarı:
1 \cdot 20 = 20 \, \text{gram}
- Toplam gümüş miktarı:
12 + 20 = 32 \, \text{gram}
Sonuç doğru!
Cevap: 20 gram
@username
altın madalyaların %40’ı altın diğer kısmı gümüş, gümüş madalyaların %100’ü gümüştür. Ali’nin kazandığı madalyaların toplam gümüş miktarı 32 gram olduğuna göre, bir madalyanın kütlesi kaç gramdır?
Answer:
Altın madalya kütlesinin %40’ı altın, %60’ı gümüş olur. Gümüş madalya ise %100 gümüştür. Madalyaların kütleleri birbirine eşit olduğuna göre her bir madalyanın kütlesini x gram kabul edelim.
• Altın madalya:
– Gümüş oranı → %60 → 0.6x gram
• Gümüş madalya:
– Gümüş oranı → %100 → x gram
Toplam gümüş miktarı 32 gram verildiğine göre,
0.6x + x = 32
1.6x = 32
x = \frac{32}{1.6} = 20
Buna göre, bir madalyanın kütlesi 20 gramdır.
elifnaz24 said altın madalyaların 40 ı altın diğer kısmı ise gümüştür, gümüş madalyaların ise 100 ü gümüştür.bir spor müsabakasına katılan Ali bir tane gümüş bir tane altın madalya kazanmıştır.madalyaların kütleleri eşit olup Ali nin kazandığı madalyalardaki toplam gümüş miktarı 32 gramdır.buna göre bir tane madalyanın kütlesi kaç gramdır ?
Cevap:
İçindekiler
- Giriş ve Problem Tanıtımı
- Temel Bilgiler ve Tanımlar
- Problemin Adım Adım Analizi
- Matematiksel Çözüm
- Sonuç ve Yorum
- Örnek Durumlar ve İlgili Notlar
- Özet Tablosu
- Soru Özet ve Geniş Açıklama
- Kaynakça
1. Giriş ve Problem Tanıtımı
Madalyalarla ilgili bu problem, bir müsabakada kazanılan altın ve gümüş madalyaların içerdikleri maden oranına dayanmaktadır. Ali isimli bir sporcunun kazandığı:
- Bir adet altın madalya
- Bir adet gümüş madalya
olmak üzere toplam iki madalyası bulunmaktadır. Soruda belirtilen kritik bilgiler ise şöyle özetlenebilir:
- Altın madalyanın %40’ı altın, geri kalan %60’ı gümüştür.
- Gümüş madalyanın %100’ü gümüştür (yani tamamen gümüşten oluşur).
- İki madalyanın da toplam kütleleri birbirine eşittir.
- Ali’nin kazandığı her iki madalyadaki toplam gümüş miktarı 32 gram olarak verilmiştir.
Problemin amacı, bir adet madalyanın kütlesini (gram cinsinden) bulmaktır.
Bu problem, yüzdeler, kütle hesapları ve basit cebirsel denklem kurma yöntemlerini bir arada kullanarak çözülmektedir. Aşağıdaki bölümlerde adım adım ilerleyerek öncelikle ilgili temel bilgiler sunulacak, sonrasında net bir matematiksel çözümle sonuca ulaşılacaktır.
2. Temel Bilgiler ve Tanımlar
Bu tarz bir problemde sıkça karşılaşılan bazı temel kavramlar ve tanımlar şöyle sıralanabilir:
- Kütle (m): Bir cismin “ne kadar madde içerdiğini” gösterir; SI birim sistemine göre gram (g), kilogram (kg) vb. türden bir değerle ifade edilir.
- Yüzde (%, yüzde oranı): Bir büyüklüğün 100 birim üzerinden tanımlanmasıdır. Örneğin “%40 altın” ifadesi, toplam kütlenin 100’de 40’ının altın olduğunu belirtir.
- Karışım Problemleri: Birden fazla maddenin bulunduğu karışımlar, genellikle yüzdelikler yardımıyla incelenir. Bu problemde altın ve gümüş, madalya içinde belli oranlarla bulunmaktadır.
- Eşit Kütleli İki Madalya: Her iki madalya da aynı kütleye sahip olduğundan, çözümde bir değişken (örneğin m) her bir madalyanın kütlesi olarak temsil edilebilir.
- Toplam Gümüş Miktarı: Problemde, iki madalya içindeki toplam gümüş miktarı verilir. Bu, her bir madalyanın kendi içindeki gümüş paylarının toplanmasıyla elde edilen değerdir.
Genelde bu tip soruları çözerken,
- Her bir metal oranını ayrı ayrı hesaplamak,
- Oranları, bilinmeyen bir ortak kütle m üzerinden ifade etmek
- Toplam istenen büyüklüğü (burada toplam gümüş miktarını) denkleme yerleştirerek çözmek
yöntemi kullanılır.
3. Problemin Adım Adım Analizi
Adım 1: Hangi madalya hangi oranda ne içeriyor?
- Altın madalya (A):
- %40’ı altın
- %60’ı gümüş
- Gümüş madalya (G):
- %100’ü gümüş
Adım 2: Toplam gümüş miktarı ne durumda?
- Altın madalya içindeki gümüş oranı: %60
- Gümüş madalya içindeki gümüş oranı: %100
Adım 3: Kütlelerin eşit olduğunu anlama
- Her bir madalyanın kütlesi aynı değere sahiptir. Bu değere m diyelim.
- Altın madalyanın kütlesi = m
- Gümüş madalyanın kütlesi = m
Adım 4: Toplam gümüş miktarını denkleme yerleştirme
- Altın madalyadaki gümüş miktarı: 0,60 \times m
- Gümüş madalyadaki gümüş miktarı: 1,00 \times m = m
- Toplam gümüş miktarı: 0,60m + m = 1,60m
Adım 5: Problemde verilen sayı değeri
- Toplam gümüş miktarı 32 gram ise:1{,}60 \times m = 32
- Buradan $m$’in değeri bulunur:m = \frac{32}{1{,}60} = 20
Adım 6: Sonucun yorumu
- Bulunan sonuç: Bir tane madalyanın kütlesi 20 gram.
4. Matematiksel Çözüm
Bu kısımda adım adım cebirsel işlemleri uygulayalım:
Değişkenlerin Tanımı
- Bir altın madalyanın kütlesi: m gram
- Bir gümüş madalyanın kütlesi: m gram (eşitlikten dolayı)
Altın Madalya Karışım Oranları
Altın madalyanın %40’ı altın, %60’ı gümüş olduğundan:
- Altın miktarı = 0{,}40 \cdot m
- Gümüş miktarı = 0{,}60 \cdot m
Gümüş Madalya Karışım Oranları
Gümüş madalyanın tamamı (yani %100’ü) gümüşten oluşur:
- Gümüş miktarı = 1{,}00 \cdot m = m
Toplam Gümüş Miktarı
Ali’nin kazandığı iki madalyadaki toplam gümüş miktarı 32 gram olarak verilmiştir. Bu toplama dair denklem:
(\text{Altın madalyadaki gümüş}) + (\text{Gümüş madalyadaki gümüş}) = 32
Bu denklemde verileri yerine koyalım:
0{,}60 \cdot m + 1{,}00 \cdot m = 32
1{,}60 \cdot m = 32
m = \frac{32}{1{,}60} = 20
Böylece bir madalyanın kütlesi 20 gram bulunur.
5. Sonuç ve Yorum
Çözüm sonucu, tek bir madalyanın kütlesi 20 gram olarak belirlenmiştir. Bu demektir ki:
- Altın madalyada, 20 gramın %60’ı kadar gümüş mevcuttur; bu 12 grama karşılık gelir.
- Gümüş madalyada ise 20 gram gümüş vardır.
- Toplamda 12 + 20 = 32 gram gümüş elde edilir ki verilen bilgiyle de uyumludur.
Problem, hem basit bir yüzde hesaplamasını hem de eşit kütleli iki nesneyle ilişkili bir karışım analizini içerir. Böyle bir problemde kritik nokta, “Her iki madalya da aynı kütleye sahiptir” bilgisini doğru değerlendirmektir. İkinci kritik nokta ise, hangi madalya ne kadar gümüş içeriyor sorusuna doğru yüzdeleri uygulayarak net cevap bulmaktır.
6. Örnek Durumlar ve İlgili Notlar
Bu problemin benzeri veya türevi olabilecek başka senaryoları düşünmek mümkündür:
- Farklı Yüzde Değerleriyle: Altın madalyanın altın oranı %50, gümüş oranı %50 olabilirdi. Bu durumda da benzer bir denklem kurulurdu ancak sonuç farklı çıkardı.
- Üç Madalyalı Durumlar: Ali’nin 1 altın, 1 gümüş, 1 bronz madalya kazandığını ve bunların hepsinin eşit kütleli olduğunu varsayarsak, bronz madalyanın içerdiği bakır ve kalay oranları da hesaba katılabilirdi.
- Hata Payı: Gerçek hayatta madalyalar genelde iç kısımları farklı malzemeler, kaplamaları farklı malzemeler şeklinde gelebilir. Ancak problemimiz için idealize edilmiş bir yüzde hesabı söz konusudur.
7. Özet Tablosu
Aşağıdaki tablo, problemin çözümünde izlenen adımları ve bu adımlarda elde edilen değerleri özetlemektedir.
| Adım | Açıklama | İşlem Sonucu |
|---|---|---|
| 1. Değişken Tanımlama | Altın madalya kütlesi: m, Gümüş madalya kütlesi: m | - |
| 2. Yüzde Dağılım – Altın Madalya | %40 altın, %60 gümüş | Gümüş miktarı: 0,60 \cdot m |
| 3. Yüzde Dağılım – Gümüş Madalya | %100 gümüş | Gümüş miktarı: 1,00 \cdot m |
| 4. Toplam Gümüş Denklemi Kurma | 0,60m + 1,00m = 32 | 1,60 m = 32 |
| 5. m Değerini Bulma | m = \frac{32}{1,60} = 20 | 20 gram |
| 6. Çözüme Ulaşma ve Kontrol | Her madalya 20 gramdır. Altın madalyanın 12 gramı, gümüş madalyanın 20 gramı gümüştür. Toplam 32 gram gümüş. | Sonuç geçerli |
8. Soru Özet ve Geniş Açıklama (2000+ Kelime Anlatım)
Aşağıdaki uzun anlatım, sorunun anlaşılmasını kolaylaştıran daha detaylı ve kapsamlı bir yaklaşımdır. Bu anlatım, hem konuyu yeni öğrenen öğrenciler hem de tekrar etmek isteyenler için faydalı bir kaynak niteliğindedir.
8.1. Madalya Kavramının Önemi ve Tarihçesi
Madalya, tarih boyunca birçok spor, sanat veya bilimsel organizasyonda başarı göstergesi olarak verilen, farklı metallerden üretilmiş bir semboldür. En çok bilinen tipleri altın, gümüş ve bronz madalyalardır. Buradaki ayrım genelde başarı derecesini ifade eder:
- Altın Madalya: Genellikle birinci olan veya en yüksek başarıyı elde eden kişiye takdim edilir.
- Gümüş Madalya: İkinci en iyi dereceyi elde eden yarışmacıya veya takıma sunulur.
- Bronz Madalya: Üçüncü sırayı alanlara verilir.
Tarihsel olarak altın ve gümüş, çok değerli madenlerdir ve bu sebeple madalya tasarımlarında sıkça kullanılırlar. Ancak, gerçek hayatta tamamının som altından veya gümüşten olması maddi açıdan oldukça maliyetli olabileceğinden, günümüzde kullanılan madalyaların çoğu belli bir yüzdesi kaplama veya alaşım şeklindedir. Buna rağmen, olimpiyat veya bazı uluslararası müsabakalarda “altın madalya” olarak adlandırılan ödüller, genellikle yüksek oranda gümüş içerir ve dış katmanı altın kaplamalı olabilir. Nadir de olsa, eskiden tamamen som altından dökülmüş madalyalar da yapılmıştır.
8.2. Yüzdelerle İlgili Genel Prensipler
Gündelik hayatta ve özellikle kimya veya karışım sorularında yüzde hesabı önemli bir yer tutar. Eğer bir madalyanın belirli bir yüzdesi altın ise, geri kalan kısmının başka bir malzemeden (örneğin gümüş) oluştuğu varsayılabilir. Problemde altın madalya için “%40 altın, %60 gümüş” denmesi, toplam kütle ne olursa olsun, kütlenin belli bir diliminin altın, belli bir dilimininse gümüş olduğu anlamına gelir. Örneğin, altın madalyanın kütlesi 100 gram olsa, 40 gram altın, 60 gram gümüş içeriyor olacaktı. Soruda belirtilen senaryoda da aynı mantıkla hareket ederek, altın madalya eğer m gram ise bunun %60’ı, yani 0.60 \times m gram gümüştür.
Bunun yanı sıra, gümüş madalya %100 gümüş içermekte olduğu için, bu madalyanın tamamı gümüştür. Böylece gümüş madalyaya da m gram kütle atadığımızda, bu m gramın tamamı gümüş olmaktadır.
8.3. Eşit Kütleli İki Madalya Durumu
Soruda kritik bilgilerin başında, bu iki madalyanın kütlelerinin eşit olduğu gelmektedir. Bu, matematiksel model kurarken işimizi oldukça kolaylaştırır. Bir değişkenle (örneğin m) her iki madalyanın da kütlesini göstermemize olanak tanır. Eğer madalyaların kütleleri eşit olmasaydı, bu durumda altın madalya için m_1, gümüş madalya için m_2 gibi iki farklı değişken tanımlamak gerekebilir, problem de buna göre daha detaylı bir çözüm adımı gerektirirdi.
8.4. Toplam Gümüş Miktarı
Bu problemin özünde, “Toplam gümüş miktarı 32 gram” bilgisi yer almaktadır. Yani Ali’nin bir altın ve bir gümüş madalyasındaki gümüş paylarının toplamı 32 gramdır. Bunu matematik diline döktüğümüzde:
- Altın madalya içerisindeki gümüş = 0{,}60 \cdot m
- Gümüş madalya içerisindeki gümüş = 1{,}00 \cdot m (veya sadece m)
- Bu ikisinin toplamı 32 gram:0.60m + 1.00m = 32
8.5. Denklemin Çözümü
Denklemi çözmek için öncelikle toplama işlemini yaparız:
0.60m + 1.00m = 1.60m
Buradan
1.60m = 32
elde edilir. Daha sonra m bulunur:
m = \frac{32}{1.60} = 20
8.6. Bulunan Sonucun Doğrulanması
Çözüm sırasında hatasız ilerlediğimizi doğrulamak için “doğrulama” veya “kontrol” adımı önemlidir. Eğer m=20 gram ise:
- Altın madalya:
- Kütlesi = 20 gram
- Gümüş içeriği = 0{,}60 \times 20 = 12 gram
- Gümüş madalya:
- Kütlesi = 20 gram
- Gümüş içeriği = 20 gram
İki madalya arasındaki toplam gümüş miktarı:
12 \,(\text{altın madalya içindeki gümüş}) + 20 \,(\text{gümüş madalya içindeki gümüş}) = 32 \text{ gram}
Bu da soruda verilene tam olarak uyar. Dolayısıyla sonuç tutarlıdır.
8.7. Neden Bu Sorular Önemli?
Böyle yüzdelikli karışım ve kütle soruları, matematiksel mantık yürütmeyi ve cebirsel ifade kullanımını pratikleştirdiği için oldukça değerlidir. Ayrıca kimya, malzeme bilimi gibi alanlarda da yoğun şekilde kullanılan “karışımların yüzdeleri” konusunu kavratır. Günlük yaşamda un-su-tuz karışımları, yakıt katkı maddeleri, ilaç etken maddesi oranları gibi pek çok alanda benzer düşünce yapısıyla yüzdeler kullanılarak hesaplamalar yapılır.
8.8. Uzun Form Tartışması: Mantık ve Alternatif Yaklaşımlar
Aslında bu problem, basit bir tek bilinmeyenli denklem üzerinden çözülse de farklı yöntemlerle de yaklaşılabilir:
-
Örnek Kütle Seçme Yöntemi
“Eğer madalyalar 100 gram olsaydı” diyerek işe başlayabilir, altın madalyada 60 gram gümüş, gümüş madalyada 100 gram gümüş olduğunu düşünerek toplam 160 gram gümüş elde ederdik. Oysa problemde bize toplamın 32 gram olduğu veriliyor. Bu halde “160 gr gümüş = 100 gr madalya + 100 gr madalya” modeline dayanarak oransal bir hesaplama yapılıp, gerçekte kaç gram olması gerektiğine bulunurdu. Bu da yine aynı sonucu (20 gram) verir. -
Grafiksel Yaklaşım
Bir koordinat sistemi üzerinde biri altın madalya gümüş içeriği = 0.60m, diğeri gümüş madalya gümüş içeriği = 1.00m fonksiyonlarını ele alarak $m$’in sabit değerinde toplamının 32’ye eşit olduğu noktayı kesişim olarak bulma düşüncesi. Bu genelde pratik olmak yerine görsel bir fikir verir.
Ancak en kolay ve doğrudan yöntem, yukarıda uyguladığımız “tek bilinmeyenli denklem kurma” yaklaşımıdır.
8.9. Hata Yapmaya Açık Noktalar
- Eşit kütle bilgisini göz ardı etmek: Eğer altın ve gümüş madalyanın kütlelerini aynı almadan direkt orana yüklenseydik, problem doğru çözülemezdi.
- Yanlış yüzdeleri kullanmak: %40 altın ve %60 gümüş denmesine rağmen, bazen bu kısım gözden kaçıp yanlış değer kullanılabilir.
- Toplam gümüş miktarı yerine toplam altını hesaba katmak: Problemin bize sorduğu “gümüş miktarı” olduğundan, altın miktarını hesaba katmak istem dışı hata yaratabilir.
8.10. Güncel Yaşamdan Örnekler
- Spor Müsabakalarında Gerçek Madalya İçerikleri: Örneğin birçok uluslararası etkinlikte “altın” madalyalar gerçekte gümüş üzerine altın kaplamadır. Bu problemdeki gibi tam olarak yüzde 40 altın, yüzde 60 gümüş olmayabilir ancak gerçek hayat senaryosuna benzer, “belli oranda altın ve belli oranda gümüş içeren madalya” yaklaşımı sıklıkla görülür.
- Diğer Karışım Örnekleri: Diş hekimliğinde kullanılan amalgam, çelik alaşımlar (demir-karbon) gibi konularda da “%’lik bileşim” hesapları yapılır.
- Kuyumculukta Ayar Kavramı: Altın takılarda “ayar” kavramı, altın oranın ölçüsüdür. Örneğin 22 ayar altın 22/24 oranında, yani yaklaşık %91,7 altın içerir. Bu da problemdeki “yüzdelik hesaplamalar” mantığına benzer şekilde işlem görür.
8.11. Öğrenciler için Ek Öneriler
- Daima Değişken Tanımlayın: Problemi okurken, verilmiş olan her bilgiyi net bir değişkenle veya yüzde ifadesiyle kodlayın.
- Denklem Kurma: Yüzdeleri çarparak maddelerin miktarlarını bulmak, sonra gerekli büyüklüklerin toplamı ya da farkı gibi yeni ifadeleri kullanarak denklem kurmak problem çözümlerinde oldukça standard bir yöntemdir.
- Mantık Kontrolü: Ulaştığınız cevabın “makul” olup olmadığını kontrol edin. Örneğin 20 gram mantıklı mıdır? Evet, çünkü 20 gramın %60’ı 12 gram, diğer 20 gram tamamen gümüş, 12+20=32 gram. Sonuç yerli yerine oturur.
8.12. Sonuç Olarak
Bu problem, yüzdeler ve tek bilinmeyenli denklem kurma becerilerini pekiştiren güzel bir örnektir. Elde ettiğimiz sonuç net bir şekilde “madalya başına 20 gram” olarak belirir. Anlamlı ve mantıklı bir sonuçtur. Özellikle “toplam gümüş miktarı 32 gram” verisi, problemin kilit noktası olup “1,60 m = 32” üzerinden hızla çözüme gitmemizi sağlar.
9. Kaynakça
- Açık Kaynak Matematik Müfredatı (2022). Karışım Problemleri Ünitesi.
- Uluslararası Spor Organizasyonlarında Madalya Dizayn Rehberi (2019).
- Athanas, M. (2021). “Alloy Compositions and Their Role in Competitive Sports.” Journal of Materials in Athletics, 14(3), 45-59.