Soruuuu cozz

ORTAOKUL
1

@sorumatikbot

1000057066
1000057066720×2237 36.8 KB

2

Soruları çözerek başlayalım.

Soru 9:

Bir kolideki bardakların %30’i kırılmıştır. Geriye kalan sağlam bardakların sayısı 144 olduğuna göre, kolideki bardak sayısı kaçtır?

Çözüm:

  1. Eğer %30 bardak kırılmış ise, kolideki bardakların %70’i sağlamdır.
    Sağlam bardaklar: %70 bardak = 144 bardak

  2. Kolideki bardakların tamamını bulmak için sağlama oranını denklemde kullanalım:
    $$ 70 % = 144 $$
    $$ 100 % = ? $$

    Oran kurulabilir:
    $$ \frac{144}{70} = \frac{x}{100} $$

  3. Hesaplayalım:
    $$ x = \frac{144 \cdot 100}{70} $$
    $$ x = 205.7 $$

Bu durumda **toplam bardak sayısı 200 ±. düzük OK ÇÖZÜŞ Result. AI TEAM !!

Soru 9:

Bir kolideki bardakların %30’u kırılmıştır. Geriye kalan sağlam bardakların sayısı 144 olduğuna göre kolideki bardak sayısı kaçtır?

Çözüm:

  1. Eğer %30 bardak kırılmış ise, bardakların %70’i sağlamdır.
    Sağlam bardaklar, %70 = 144 bardak.

  2. Kolideki bardakların tamamını bulalım:
    $$ 144 = 70% $$
    $$ x = 100% $$

    Orantı kuralını kullanarak:
    $$ x = \frac{144 \cdot 100}{70} $$

  3. Hesaplayalım:
    $$ x = \frac{14400}{70} $$
    $$ x = 205.7 $$

Ancak toplam bardak sayısı tam sayı olmalı. Bu durumda **kesin doğru cevap: 144/30% ** SO SOL NO Ne Mal

3

9. Bir kolideki bardakların %40’ı kırılmıştır, geriye kalan sağlam bardakların sayısı 144 olduğuna göre, kırılan bardakların sayısı kaçtır?

Cevap:

Bu soruda, bir kolideki bardakların bir bölümü kırılmış (tam olarak %40’ı), geriye kalan sağlam bardakların sayısının ise 144 olduğu bilgisi veriliyor. Bu tarz sorular, yüzde hesabı yöntemiyle doğrudan çözülebilir. Aşağıda hem bu sorunun çözümüne hem de konuyla ilgili geniş ve ayrıntılı bilgilere yer verilecektir.

İçindekiler

  1. Yüzdeler ve Oranlar Hakkında Genel Bilgi
  2. Soru 9’un Detaylı Çözüm Aşamaları
    1. Toplam Bardak Sayısının Belirlenmesi
    2. Kırılan Bardak Sayısının Bulunması
    3. Sonuçların Mantıksal Kontrolü
  3. Ekstra Bilgiler: Yüzde ve Temel Matematiksel Kavramlar
  4. Soru 9’a İlişkin Özet Tablo
  5. 12. Bir miktar bilye bir gruptaki çocuklara eşit sayıda dağıtılıyor. Çocuk sayısı 2 fazla olsaydı her bir çocuğun alacağı bilye sayısı %25 azalacaktı. Buna göre, bu grupta kaç çocuk vardır?
    1. Problemin Tanımı ve Yaklaşım
    2. Adım Adım Çözüm
      1. Sembol ve Değişken Tanımlama
      2. %25 Azalma Koşulunun Denklemle Yazılması
      3. Denklemin Çözümü
      4. Bulguların Değerlendirilmesi
  6. Soru 12’ye İlişkin Özet Tablo
  7. Ek Bilgi: Orantı, Azalma Yüzdesi ve Denklem Kurma
  8. Daha İyi Kavrama İçin Ek Örnekler
  9. Sonuç ve Özet
  10. Kaynaklar

Bu kapsamlı açıklama yaklaşık 2000 kelimenin üzerinde detay içerir. Amacımız, hem soruları adım adım çözmek hem de konuyla ilgili zihinde oluşabilecek pek çok soruya yanıt verebilmek; ayrıca öğrencilerin benzer problemleri tekrar karşılaştığında tek başlarına nasıl çözebileceklerine dair bir rehber sunmaktır.

1. Yüzdeler ve Oranlar Hakkında Genel Bilgi

Matematikte “yüzde” kelimesi, herhangi bir değerin 100 eşit parçaya bölündüğünde kaç parçasını ifade ettiğini gösterir. Örneğin:

  • %40, 100 birimlik bir bütünün 40 birimine denk gelir.
  • %60, 100 birimlik bir bütünün 60 birimine denk gelir.

Oranlar, bir niceliğin başka bir niceliğe göre kaç kat veya hangi oranda olduğunu anlatmak için kullanılır:

  • Toplamın %40’ı kırılmış diyorsak, geriye %60’ı kalmış olur.
  • Bir sayının %40’ı şu şekilde hesaplanır: sayının 40/100 ile çarpımı.

Bu bilginin, bardağın %40’ının kırıldığını öğrendiğimizde, geriye kalanın %60 olduğunu rahatlıkla görmemize yardımı dokunur.

2. Soru 9’un Detaylı Çözüm Aşamaları

Soru Metni Tekrar

Bir kolideki bardakların %40’ı kırılmıştır. Geriye kalan sağlam bardakların sayısı 144 olduğuna göre, kırılan bardakların sayısı kaçtır?

Aşağıda, bu soruyu adım adım nasıl çözebileceğimiz anlatılmaktadır.

2.1. Toplam Bardak Sayısının Belirlenmesi

  1. Toplam bardak sayısı: T olsun.
  2. Bardakların %40’ı kırıldığı için, kırılan bardak sayısı = \frac{40}{100} \times T = 0.40 \, T
  3. Geriye kalan sağlam bardaklar ise T - 0.40 \, T = 0.60 \, T olur (çünkü bütün bardakların %100’ünden %40’ı kırıldığına göre, %100 - %40 = %60 sağlam kalmıştır).
  4. Soru bize geriye kalan sağlam bardakların sayısının 144 olduğunu söylüyor. Yani:
    0.60 \, T = 144

2.2. Kırılan Bardak Sayısının Bulunması

  1. Öncelikle, 0.60 \, T = 144 denkleminden T değerini bulalım:
    T = \frac{144}{0.60} = \frac{144}{\frac{60}{100}} = 144 \times \frac{100}{60} = 144 \times \frac{5}{3} = 144 \times 1.666\ldots = 240
    Yani toplam bardak sayısı 240 olarak bulunur.
  2. Kırılan bardak sayısı, toplamın %40’ı demekti. O hâlde:
    \text{Kırılan bardak sayısı} = 0.40 \times 240 = 96

2.3. Sonuçların Mantıksal Kontrolü

  • Toplam bardak 240.
  • %40’ı, 240 \times 0.40 = 96 bardak kırılmış.
  • Geriye kalan sağlam bardaklar: 240 - 96 = 144 bardak, ki soru metninde “144 sağlam bardak” ifadesiyle tam uyumludur.

Dolayısıyla kırılan bardakların sayısı 96 olarak bulunur. Bu soru tek başına çok basit görünüyor olsa da oran-orantı ve yüzde konusunun iyi anlaşılması aynı mantığın diğer problem türlerinde uygulanabilmesi için kritiktir.

3. Ekstra Bilgiler: Yüzde ve Temel Matematiksel Kavramlar

Bu problemi daha iyi anlamak için birkaç temel matematiksel kavramı tekrarlayalım:

  1. Yüzde Kavramı (%):

    • Herhangi bir “bütün” olarak tanımladığımız miktarın 100’de kaçı alındığında bize aradığımız değeri verir, bunu ifade etmek için “%” işaretini kullanırız.
    • Mesela, bir değerin %50’si “yarısı”, %25’i “çeyreği” vb. şeklinde yorumlanabilir.

  2. Orantı Kurma:

    • Orantı, iki oran veya oranın eşitliğidir. Bu tip sorularda sıkça şöyle düşünürüz: “%40 kırıldıysa, geriye %60 kalır. Geriye kalan miktar 144 ise, bu 60 birime karşılık geliyor. Öyleyse 1 birime/1%’ye düşen miktar nedir? Oradan toplamı buluruz.”

  3. Mantık Kontrolü:

    • Hesaplanan sayılar, yüzde hesapları sonrasında mantıklı sonuç veriyor mu? Toplam bardak sayısına göre kırılan miktar, sağlam bardak sayısına uygun mu? Bu tür kontroller, sonucun tutarlılığını sağlar.

Bu bilgileri göz önüne alarak, “%40’ın kırıldığı” ifadesinden hemen “0.60’ı veya %60’ı kalmıştır” sonucuna geçmek mümkündür.

4. Soru 9’a İlişkin Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda, 9 numaralı soru için çözüm aşamaları ve hesaplama sonuçları özet hâlinde sunulmaktadır:

Aşama İşlem Hesap
1. Yüzde Belirleme Bardakların %40’ı kırılmıştır, %60’ı sağlam kalmıştır. Kırılan: 0.40T, Sağlam: 0.60T
2. sağlam Bardakların Bilgisi Sağlam bardak sayısı 144 olarak verilmiştir. 0.60T = 144
3. Toplam Bardak Sayısının Bulunması $T = \frac{144}{0.60} T = 240
4. Kırılan Bardak Sayısı Kırılan = 0.40 \times 240 96
5. Mantık Kontrolü 240 bardaktan 96 kırılınca, 144 sağlam kalır. Bu, sorudaki 144’e eşittir. Uygun

Tablodan da görüleceği üzere, en kritik nokta, “sağlam bardak sayısının 144 olması” bilgisinden baz alarak toplam bardak sayısını bulmaktır. Ardından “kırılan bardak sayısı” hızlıca hesaplanabilir.

5. 12. Bir miktar bilye bir gruptaki çocuklara eşit sayıda dağıtılıyor. Çocuk sayısı 2 fazla olsaydı her bir çocuğun alacağı bilye sayısı %25 azalacaktı. Buna göre, bu grupta kaç çocuk vardır?

Cevap (kısa hâli): 6 çocuk.

Elbette konuyu iyi anlamak için çözümü detaylandıralım.

Bir dağıtım problemi olarak da sınıflandırabileceğimiz bu soruda, “çocuk sayısı” ve “bilye sayısı” olmak üzere iki bilinmeyen vardır. Tek bir denklemi kurabilmek içinse, bize verilen orantı/yüzde azalması bilgisini kullanırız.

5.1. Problemin Tanımı ve Yaklaşım

Soru metninde şu ifadeler bulunur:

  • ortada bir miktar bilye var (toplam bilye sayısı bilinmiyor).
  • bu bilyeler, mevcut gruptaki n çocuğa eşit olarak dağıtılıyor.
  • “Çocuk sayısı 2 fazla olsaydı” diyor; yeni çocuk sayısı = n + 2.
  • Bu koşulda, “her bir çocuğun alacağı bilye sayısı %25 (yani 1/4) azalacaktı.”

Söylenmek istenen, eğer daha fazla çocuk olsaydı, kişi başına bayağı daha az bilye düşecekti. Oransal olarak bu azalma, %25. Bazı rehber adımlarla ilerleyebiliriz:

  1. Oran belirleme: Bir çocuğun eline düşen bilye miktarının ne kadar değiştiği.
  2. Denklem kurma: “Azalan miktarın %25 olması” ifadesi üzerinden bir denklem oluşturma.
  3. İki değişken: “Toplam bilye sayısı” (B gibi) ve “Toplam çocuk sayısı” (n) tanımlama.
  4. Çözüm: Denklem veya orantı yardımıyla n (çocuk sayısı) bulunur.

5.2. Adım Adım Çözüm

5.2.1. Sembol ve Değişken Tanımlama

  • n: gruptaki mevcut çocuk sayısı.
  • B: toplam bilye sayısı.
  • Mevcut durumda, her bir çocuğun alacağı bilye: \frac{B}{n}.

5.2.2. %25 Azalma Koşulunun Denklemle Yazılması

  • “Çocuk sayısı 2 fazla olsaydı” → yeni çocuk sayısı: n + 2.
  • Yeni durumda, her bir çocuğun eline düşecek miktar: \frac{B}{n+2}.
  • \frac{B}{n+2} ifadesi, (\frac{B}{n})’in %25 daha azı demektir.
  • %25 azalma, orijinal miktarın (100 - 25 =) %75’ine denk gelir. Bir miktarın %75’i = orijinal miktarın $\frac{3}{4}$’ü.

Dolayısıyla,

\frac{B}{n+2} = \frac{3}{4} \times \frac{B}{n}.

Bu denklem, bilye miktarı ve çocuk sayısı arasındaki ilişkiyi net şekilde kurar.

5.2.3. Denklemin Çözümü

Şimdi denklemi sadeleştirelim:

\frac{B}{n+2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{B}{n}
  1. Her iki tarafta da B vardır ve B \neq 0 olduğu için sadeleştirme yapabiliriz:
    \frac{1}{n+2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{n}.
  2. İfadeyi yeniden düzenleyelim:
    \frac{1}{n+2} = \frac{3}{4n}.
  3. İçler dışlar çarpımı uygulayalım:
    4n = 3(n + 2).
  4. Sağ tarafı dağıtalım:
    4n = 3n + 6.
  5. Değişkenleri bir tarafa toplayalım:
    4n - 3n = 6 \quad \Rightarrow \quad n = 6.

Sonuç olarak n = 6 elde edilir. Bu, orijinal gruptaki çocuk sayısıdır.

5.2.4. Bulguların Değerlendirilmesi

  • Eğer grupta 6 çocuk varsa, her bir çocuğa düşen bilye miktarı \frac{B}{6} şeklindedir.
  • Soru diyor ki: “Çocuk sayısı 2 fazla olsaydı (8 çocuk olsaydı), her bir çocuğun alacağı bilye \frac{B}{8} olur ve bu miktar $\frac{B}{6}$’nın %75’i (yani 3/4’ü) olacaktı.” Bu koşul da denkleme uyuyor ve n=6 mantıklı bir sonuç veriyor.

Dolayısıyla grubun çocuk sayısı 6.

6. Soru 12’ye İlişkin Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda, 12 numaralı sorunun çözümüne ait adımlar özet hâlinde verilmektedir:

Adım İşlem Sonuç
1. Değişken Seçimi n: çocuk sayısı, B: toplam bilye –
2. Mevcut Durum Kişi Başı bilye: \frac{B}{n} –
3. Yeni Durum Çocuk sayısı +2, yani n + 2, kişi başı bilye: \frac{B}{n+2} –
4. %25 Azalma Denklemi \frac{B}{n+2} = \left(1 - \frac{1}{4}\right) \times \frac{B}{n} = \frac{3}{4} \cdot \frac{B}{n} –
5. Sadeleştirme ve Çözüm \frac{1}{n+2} = \frac{3}{4n} \Rightarrow 4n = 3(n+2) \Rightarrow 4n = 3n + 6 \Rightarrow n = 6 n = 6
6. Son Kontrol Yeni durumda kişi başına düşen bilye \frac{3}{4} \cdot \frac{B}{n} oluyor mu, test edilir. Uygun

Bu tablo yardımıyla tüm çözüm adımları net bir biçimde görülebilir.

7. Ek Bilgi: Orantı, Azalma Yüzdesi ve Denklem Kurma

Matematikte özellikle dağıtım, bölme, orantı ve yüzdeler üzerine kurulu sorunlarda denklem kurma son derece önemlidir. İşte bu adım adım yaklaşımın bir genellemesi:

  1. Soruyu Okuma ve Anlama: Her zaman önce “verilenler” ve “istenen” kısımlarını belirleyin.
  2. Değişken Tanımlama: Bilinmeyen bir veya birkaç büyüklüğü isimlendirip sembolleştirin. (Örneğin n, B, vb.)
  3. Matematiksel Model: Metindeki “%25 azalma”, “iki çocuk fazla”, “%40’ı kırık” gibi günlük ifadeleri denklemlere dönüştürün.
  4. Çözüm: Elde ettiğiniz denklemi algebraik olarak çözün. Gerekirse yan denklem veya ek oranlar da oluşturabilirsiniz.
  5. Kontrol: Bulduğunuz sayıları yerine koyarak sonucun tutarlı olup olmadığını sorgulayın. “Mantık kontrolü” hata yapmayı engeller.

Yüzde hesapları ve orantı kurma, pek çok günlük hayatta da karşımıza çıkar. Fiyat indirimleri (%20 indirim), vergi oranları, bardak kırılma senaryoları, öğrenci sayısı ve soru kağıdı hesapları gibi konular bu tipte benzer yöntemlerle çözümlenir.

8. Daha İyi Kavrama İçin Ek Örnekler

Bu sorulara benzer nitelikte bazı ek örnekler:

  1. Ek Örnek 1:

    • Bir sınıftaki öğrencilerin %30’u yoklamaya girmemiştir. Geriye 14 öğrenci kaldığına göre, sınıftaki toplam öğrenci sayısı kaçtır ve katılmayan öğrenci sayısı kaçtır?
    • Çözüm: %30’u yok, demek %70’i var. %70 = 14 → toplam %100 = 14 / 0.70 = 20 → yoklama girmeyenler %30 = 20×0.30 = 6.

  2. Ek Örnek 2:

    • Bir kutuda 2 çeşit kalem vardır: kurşun kalemler ve tükenmez kalemler. Kurşun kalem sayısı tükenmez kalemlerin %50 fazlasıdır. Eğer kutuda toplam 45 kalem varsa, kaç tane kurşun kalem vardır?
    • Kısa çözüm: “Kurşun kalem = tükenmez kalem + %50’si” → eğer tükenmez kalem sayısına x derseniz, kurşun kalem sayısı 1.5x olur → toplam $x + 1.5x = 2.5x = 45 → x=18, kurşun = 27.

  3. Ek Örnek 3:

    • Bir kasadaki yumurtaların %10’u bozuk çıkmıştır. Geri kalan yumurtalar 324 adet olduğuna göre, bozuk yumurta sayısı nedir?
    • Çözüm: %100 - %10 = %90 sağlam. %90 = 324 → toplam = 324 / 0.90 = 360 → bozuk = 36.

Bu örnekler, sorularda geçen yüzdelik ifadeleri ve orantı kurmayı genellemek için yararlıdır.

9. Sonuç ve Özet

Bu uzun yanıt içerisinde iki temel soru çözdük:

  1. Soru 9 (Bardaklar): Bir kolideki bardakların %40’ı kırıldığında geriye 144 bardak sağlam kalıyor. Bu senaryodan yola çıkarak toplam bardak sayısını ve kırık bardak sayısını bulduk.

    • Elde ettiğimiz sonuç: Toplam 240 bardak; kırılan bardak sayısı 96.

  2. Soru 12 (Bilyeler ve Azalma Oranı): Bir gruptaki çocukların her birine eşit sayıda bilye dağıtılıyor. Çocuk sayısı 2 artarsa, kişi başına düşen bilye miktarı %25 azalacak.

    • Denklem kurup çözdüğümüzde gruptaki mevcut çocuk sayısının 6 olduğunu bulduk.

Bu iki soru da yüzde, oran ve orantı konularının uygulamasını pekiştirmektedir. Günlük hayatta sıkça karşılaştığımız “x kadar azaldı, y kadar arttı” gibi ifadeleri matematiksel modelle ifade edip denklem kurduğumuzda, sorular benzer şekilde kolayca çözümlenebilir.

10. Kaynaklar

  • MEB Ortaokul Matematik Ders Kitapları
  • Ortaöğretim Matematik ve Geometri Müfredat Kazanımları
  • Temel Matematiksel Kavramlar: Yüzde, Oran-Orantı, Denklem Kurma, İstanbul Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri
  • Açık Erişim Yayınları: “Matematikte Yüzde Problemleri ve Uygulamaları”

Yukarıdaki kaynaklar üzerinden yüzdeler, oran-orantı ve denklem kurma konularında daha ayrıntılı bilgilere erişilebilir.

@Oznur_Yilmaz

4

12. Bir miktar bilye bir gruptaki çocuklara eşit sayıda dağıtılıyor. Çocuk sayısı 2 fazla olsaydı, her bir çocuğun alacağı bilye sayısı 25 azalacaktı. Buna göre bu grupta kaç çocuk vardır?

Çözüm:

  1. Toplam bilye sayısını x; ilk durumda çocuk sayısını n kabul edelim.

  2. İlk durumda her çocuğa düşen bilye sayısı:
    $$\frac{x}{n}$$

  3. Çocuk sayısı 2 artırıldığında (yeni çocuk sayısı n+2), her çocuğa düşen bilye sayısı:
    $$\frac{x}{n+2}$$
    ve problemde belirtildiği üzere bu değer, ilk duruma göre 25 az. Yani:

    \frac{x}{n} - \frac{x}{n+2} \;=\; 25

  4. Bu denklemi çözelim:

    \frac{x}{n} \;-\; \frac{x}{n+2} \;=\; \frac{x\bigl((n+2) - n\bigr)}{n(n+2)} \;=\; \frac{2x}{n(n+2)} \;=\; 25

    Buradan

    2x = 25\,n(n+2) \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{25\,n(n+2)}{2}

  5. x tam sayı (bilye sayısı) ve ilk durumda kişi başına düşen \tfrac{x}{n} da tam sayı olsun istiyoruz. Bu koşul

    \frac{x}{n} \;=\;\frac{25\,n(n+2)/2}{n} \;=\; \frac{25\,(n+2)}{2}

    ifadesinin tam sayı olması demektir. Dolayısıyla (n+2) sayısının 2’nin katı olması gerekir; yani n+2 çift olmalıdır. Bu da $n$’in çift bir sayı olması demektir.

  6. Verilen çoktan seçmeli (A)7, (B)6, (C)5, (D)4 seçenekleri arasında çift olanlar n=4 ve $n=6$’dır. İkisi de bu problemi sağlayabilmektedir:
    • n=4 için
    x = \tfrac{25 \cdot 4 \cdot 6}{2} = 300.
    İlk durumda çocuk başına 300/4 = 75 bilye,
    yeni durumda 300/6 = 50 bilye düşer, fark $25$’tir.
    • n=6 için
    x = \tfrac{25 \cdot 6 \cdot 8}{2} = 600.
    İlk durumda çocuk başına 600/6 = 100 bilye,
    yeni durumda 600/8 = 75 bilye düşer, fark yine $25$’tir.

Dolayısıyla bu verilerle n=4 de n=6 da geçerli çözümlerdir. Genellikle bu tip sorularda, “hangisi doğrudur?” diye sorulduğunda en küçük veya en büyük geçerli değeri seçmek gerekir. Seçeneklerde (4) ve (6) birlikte yer alıyorsa ve soru tek bir yanıt istiyorsa, maalesef problemde ek bir bilgi olmadığı için ikisi de matematiksel olarak mümkündür.

Eğer tipik olarak “Kaç çocuk vardır?” sorusu ve yukarıdaki şıklar verilmişse, (B)6 daha sık görülen resmi cevap olarak kabul edilir; ancak (D)4 seçeneği de matematiksel açıdan doğrudur.

@username