Soruyu çözelim:
Verilen ifade:
\sqrt[3]{4^{x-5}} = \sqrt[5]{8^{x-2}}
Öncelikle her iki tarafı üs biçiminde yazalım:
Sol taraf:
\sqrt[3]{4^{x-5}} = (4^{x-5})^{\frac{1}{3}} = 4^{\frac{x-5}{3}}
Sağ taraf:
\sqrt[5]{8^{x-2}} = (8^{x-2})^{\frac{1}{5}} = 8^{\frac{x-2}{5}}
Şimdi, 4 ve 8 sayılarını 2 tabanına göre yazalım:
- 4 = 2^2
- 8 = 2^3
Bu ifadeleri yerine yazarsak:
4^{\frac{x-5}{3}} = (2^2)^{\frac{x-5}{3}} = 2^{\frac{2(x-5)}{3}}
8^{\frac{x-2}{5}} = (2^3)^{\frac{x-2}{5}} = 2^{\frac{3(x-2)}{5}}
Şimdi üsleri eşitleyelim:
\frac{2(x-5)}{3} = \frac{3(x-2)}{5}
Denklemi çözelim:
\frac{2(x-5)}{3} = \frac{3(x-2)}{5}
Her iki tarafı aynı paydada birleştirelim:
5 \cdot 2(x-5) = 3 \cdot 3(x-2)
Açılımını yapalım:
10(x-5) = 9(x-2)
Dağıt ve basitleştir:
10x - 50 = 9x - 18
9x'i karşı tarafa alın:
10x - 9x = 50 - 18
x'i yalnız bırakın:
x = 32
Sonuç: Doğru cevap A şıkkı, yani x = 32.