Sorunun Çözümü:
Soruda,
$$ x = \frac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{5} - 2} \quad \text{ve} \quad y = \frac{\sqrt{7} - 1}{\sqrt{5} + 2} $$
olduğu verilmiştir ve y'nin x türünden eşiti sorulmaktadır.
1. Adım: Paydanın Eşlenikle Çarpılması
Çarpanları sadeleştirmek ve daha basit bir ifade bulmak için hem x'in hem de y'nin paydasını eşlenikle çarparız.
x’in Eşleniği ile Çarpımı
x = \frac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{5} - 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{(\sqrt{7} + 1)(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)}
Paydadaki iki kare farkı formulünü kullanarak:
(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1
Bu nedenle,
x = (\sqrt{7} + 1)(\sqrt{5} + 2)
olur. Şimdi çarpanları açalım:
x = \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{7} \cdot 2 + 1 \cdot \sqrt{5} + 1 \cdot 2
Sonuç:
x = \sqrt{35} + 2\sqrt{7} + \sqrt{5} + 2
y’nin Eşleniği ile Çarpımı
Benzer şekilde,
y = \frac{\sqrt{7} - 1}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{(\sqrt{7} - 1)(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)}
Alttaki iki kare farkı formulüne göre yine:
(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1
Bu nedenle:
y = (\sqrt{7} - 1)(\sqrt{5} - 2)
Pay kısmını açalım:
y = \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{7} \cdot 2 - 1 \cdot \sqrt{5} + 1 \cdot 2
Sonuç:
y = \sqrt{35} - 2\sqrt{7} - \sqrt{5} + 2
2. Adım: x ve y Arasındaki İlişki
Elde ettiğimiz ifadeler:
x = \sqrt{35} + 2\sqrt{7} + \sqrt{5} + 2
y = \sqrt{35} - 2\sqrt{7} - \sqrt{5} + 2
x ve y'yi toplarsak \sqrt{7} ve \sqrt{5} içeren terimler birbirini götürür:
x + y = (\sqrt{35} + 2\sqrt{7} + \sqrt{5} + 2) + (\sqrt{35} - 2\sqrt{7} - \sqrt{5} + 2)
x + y = 2\sqrt{35} + 4
x ve y'yi çıkartırsak da diğer terimler sadeleşir:
x - y = (\sqrt{35} + 2\sqrt{7} + \sqrt{5} + 2) - (\sqrt{35} - 2\sqrt{7} - \sqrt{5} + 2)
x - y = 4\sqrt{7} + 2\sqrt{5}
Bu noktada şu ifadeleri aşama aşama sadeleştirerek bulabiliriz.
3. Adım: y'yi x Türünden Yazmak
Soruda istenen y = kx, yani y'nin x cinsinden çarpanı olacaktır. İfadelerin birbirine oranını incelersek:
\frac{y}{x} = \frac{\sqrt{35} - 2\sqrt{7} - \sqrt{5} + 2}{\sqrt{35} + 2\sqrt{7} + \sqrt{5} + 2}
Bu rasyonel ifadeyi sadeleştirdiğimizde, sonuç:
y = \frac{6}{x}
Sonuç:
Doğru cevap: E şıkkı (y = \frac{6}{x}) @Ranaa_Nur
