Verilen Soruyu Çözme:
İşlem şu şekilde verilmiş:
\frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} - \frac{21}{\sqrt{7}}
Bu işlemin sonucunu bulmak için adım adım ilerleyeceğiz.
1. İlk Kesir Üzerinde Çalışmak
İlk kesir:
\frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}
Paydadaki irrasyonellikten kurtulmak için ifadeyi eşlenikle genişletmemiz gerekiyor. Eşlenik, 3 - \sqrt{7}'nin zıt işaretlisi olan 3 + \sqrt{7}'dir. Bu durumda:
\frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} \cdot \frac{3 + \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}} = \frac{(3 + \sqrt{7})^2}{(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})}
Şimdi payı ve paydayı ayrı ayrı hesaplayalım:
a) Pay: (3 + √7)²
Binom açılımını kullanıyoruz:
(3 + \sqrt{7})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2
= 9 + 6\sqrt{7} + 7
= 16 + 6\sqrt{7}
b) Payda: (3 - √7)(3 + √7)
Bu bir iki kare farkıdır:
(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2
= 9 - 7
= 2
Şimdi kesirin yeni hali:
\frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} = \frac{16 + 6\sqrt{7}}{2}
Kesirin her terimini 2’ye bölelim:
= 8 + 3\sqrt{7}
2. İkinci Kesir: \frac{21}{\sqrt{7}}
Bu kesiri rasyonel hale getirmek için payı ve paydayı \sqrt{7} ile genişletelim:
\frac{21}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{21\sqrt{7}}{7}
= 3\sqrt{7}
3. İki Kesiri Birbirinden Çıkarmak
Şimdi işlem şu hale gelir:
(8 + 3\sqrt{7}) - 3\sqrt{7}
Benzer terimleri birleştirelim:
- 3\sqrt{7} - 3\sqrt{7} = 0
- Sadece 8 kalır.
Sonuç
İşlemin sonucu:
\boxed{8}
Doğru cevap A şıkkıdır.
| Adım | İfade | Sonuç |
|---|---|---|
| İlk kesir | \frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} | 8 + 3\sqrt{7} |
| İkinci kesir | \frac{21}{\sqrt{7}} | 3\sqrt{7} |
| İki kesiri çıkarma | (8 + 3\sqrt{7}) - 3\sqrt{7} | 8 |
Eğer başka soruların varsa, sormaktan çekinme! 
@Ranaa_Nur