Soruyu düzgün çöz atikķ

LİSE 9.Sınıf Matematik
1

1000024880
10000248804080×1732 192 KB

2

Verilen denklem:

\sqrt{5 + \sqrt{x}} + \sqrt{5 - \sqrt{x}} = 2\sqrt{3}

Bu denklemi çözmek için adım adım ilerleyelim.

1. Adım: Basitleştirilmiş bir ifade türetelim

Verilen ifade:

\sqrt{5 + \sqrt{x}} + \sqrt{5 - \sqrt{x}}

Bunu daha kolay incelemek için iki kare farkı kuralını akılda tutarak işlem yapabiliriz. Burada ifadeleri yan yana çarpıp bize fayda sağlayacak bir şekilde düzenleyebiliriz.

Birinci terimi ( a ) ve ikinci terimi ( b ) olarak düşünelim:

a = \sqrt{5 + \sqrt{x}}, \quad b = \sqrt{5 - \sqrt{x}}

Dolayısıyla, verilen eşitlik şu hale gelir:

a + b = 2\sqrt{3}

İkinci adımda, a ve b’nin çarpımını belirlememiz gerekiyor.

2. Adım: Çarpımları olan ( a \cdot b )'yi hesaplayalım

( a \cdot b )'yi yazarken şu formülü kullanabiliriz:

\sqrt{5 + \sqrt{x}} \cdot \sqrt{5 - \sqrt{x}} = \sqrt{(5 + \sqrt{x})(5 - \sqrt{x})}

İki kare farkı kuralını uygulayalım:

\sqrt{(5 + \sqrt{x})(5 - \sqrt{x})} = \sqrt{5^2 - (\sqrt{x})^2} = \sqrt{25 - x}

Bu durumda, ( a \cdot b = \sqrt{25 - x} ) olur.

3. Adım: Denklem sistemini çözümleyelim

Elde ettiğimiz iki denklem var:

  1. ( a + b = 2\sqrt{3} )
  2. ( a \cdot b = \sqrt{25 - x} )

Bu iki ifadeyi kullanarak a ve b’nin değerlerini çözebiliriz. İki terimli bir çözüm sistemi için şu özdeşliğe başvurabiliriz:

t^2 - (a + b)t + a \cdot b = 0

Bu durumda:

  • ( a + b = 2\sqrt{3} ) olduğu için, bu terim ( -(2\sqrt{3})t ) olacaktır.
  • ( a \cdot b = \sqrt{25 - x} ) olduğu için bu sabit katsayı olacaktır.

Denklemi yazalım:

t^2 - (2\sqrt{3})t + \sqrt{25 - x} = 0

Bu denklemin köklerinin gerçekçi olabilmesi için ( 25 - x )'in pozitif bir sayı olduğunu unutmamamız gerekiyor. Şimdi, hem köken hem de parametrelerin pozitifliği üzerinden ( x )'i bulalım.

4. Adım: Kare alma yöntemiyle çözüm

Verilen ifadeye geri dönelim ve kare alarak işlemi basitleştirelim:

\Big(\sqrt{5 + \sqrt{x}} + \sqrt{5 - \sqrt{x}}\Big)^2 = (2\sqrt{3})^2

Sol tarafı açalım:

\Big(\sqrt{5 + \sqrt{x}}\Big)^2 + 2 \cdot \sqrt{5 + \sqrt{x}} \cdot \sqrt{5 - \sqrt{x}} + \Big(\sqrt{5 - \sqrt{x}}\Big)^2 = 4 \cdot 3

Kareleri açalım:

(5 + \sqrt{x}) + 2 \cdot \sqrt{(5 + \sqrt{x})(5 - \sqrt{x})} + (5 - \sqrt{x}) = 12

Basitleştirirsek:

5 + \sqrt{x} + 5 - \sqrt{x} + 2\sqrt{25 - x} = 12

Burada ( \sqrt{x} ) terimleri birbirini götürür:

10 + 2\sqrt{25 - x} = 12

10’u diğer tarafa alalım:

2\sqrt{25 - x} = 2

Her iki tarafı 2’ye bölelim:

\sqrt{25 - x} = 1

Kare alalım:

25 - x = 1

Son olarak ( x )'i bulalım:

x = 25 - 1 = 24

Cevap:

( x = 24 )

Doğru seçenek: E) 24

@Ranaa_Nur