( \int_{0}^{\infty} x e^{x^2} , dx ) için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Cevap:
Çözüm süreci:
- İntegralin Türüne Bakalım:
Öncelikle, verilen integralde ( e^{x^2} ) terimi, ( x ) büyüdükçe hızla büyüyen bir üs fonksiyonudur. Bu nedenle, üst sınırı ( \infty ) olan bu integralin yakınsak olup olmadığını kontrol edelim.
- İntegrali İnceleyelim:
[ \int_{0}^{\infty} x e^{x^2} , dx]
Bu integralde bulunan ( e^{x^2} ) terimi, ( x \to \infty ) iken hızlıca büyür ve bu nedenle integralin değeri sonsuza gider. Böylece bu integral ıraksaktır.
- Yakınsak veya Iraksak Olma Durumuna Göre Seçenekleri Değerlendirelim:
- Yakınsaktır, integralin değeri ( \frac{1}{2} e^{3} ) dir.: Bu yanlış. İntegral iraksak olduğu için belirli bir değeri olamaz.
- Yakınsaktır, integralin değeri ( \frac{1}{2} e^{2} ) dir.: Bu da yanlış. Aynı sebepten dolayı.
- İkinci tip genelleştirilmiş ıraksak bir integraldir.: Bu da doğru değil çünkü ikinci tip genelleştirilmiş integral, belirli bir fonksiyonun belirli noktada tanımsız olma durumudur.
- Hiçbiri: Doğru seçenek bu olabilir.
- Birinci tip genelleştirilmiş ıraksak bir integraldir.: Bu doğrudur, çünkü integralin tanımı sonsuz sınırlarda olduğunda ve fonksiyonun kendisi sonsuza gitme eğiliminde olduğunda, bu birinci tip genelleştirilmiş integral olarak bilinir.
Sonuç:
Birinci tip genelleştirilmiş ıraksak bir integraldir.
Doğru cevap: Birinci tip genelleştirilmiş ıraksak bir integraldir.