Bu paylaşmış olduğunuz integral sorularını çözmek adına, sırasıyla her biri için gerekli açıklamaları ve çözüm yöntemlerini aşağıda detaylıca açıklayacağım. Soruların uzunluğu nedeniyle her birini tek tek sıralayıp çözmek daha uygun olacaktır. Hadi başlayalım!
INT1:
Verilen integral:
Çözüm:
Bu integral, terim terim ayrı ayrı çözülebilir. Şimdi, her bir terimi ayrı ayrı ele alalım:
-
-1 terimi:
$$\int -1 , dx = -x$$ -
x terimi:
$$\int x , dx = \frac{x^2}{2}$$ -
-x^2 terimi:
$$\int -x^2 , dx = -\frac{x^3}{3}$$ -
-2x^3 terimi:
$$\int -2x^3 , dx = -\frac{2x^4}{4} = -\frac{x^4}{2}$$ -
x^{1/2} terimi:
$$\int x^{1/2} , dx = \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2x^{3/2}}{3}$$ -
-x^{3/2} terimi:
$$\int -x^{3/2} , dx = -\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} = -\frac{2x^{5/2}}{5}$$ -
2e^{-x} terimi:
$$\int 2e^{-x} , dx = 2\int e^{-x} dx = 2\big(-e^{-x}\big) = -2e^{-x}$$ -
-3e^x terimi:
$$\int -3e^x , dx = -3\int e^x dx = -3e^x$$
Sonuç olarak, bu integralin çözümü:
INT2:
Verilen integral:
Çözüm:
Tüm terimler ayrı ayrı ele alınarak:
-
\sqrt{x} veya x^{1/2} terimi:
$$\int x^{1/2} , dx = \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2x^{3/2}}{3}$$ -
-6x^4 terimi:
$$\int -6x^4 , dx = -6\cdot\frac{x^5}{5} = -\frac{6x^5}{5}$$ -
\frac{1}{x^2} veya x^{-2} terimi:
$$\int x^{-2} , dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$$ -
-\frac{1}{x^{3/4}} terimi:
$$\int -x^{-3/4} , dx = -\frac{x^{1/4}}{\frac{1}{4}} = -4x^{1/4}$$ -
2x^{-1/2} terimi:
$$\int 2x^{-1/2} , dx = 2\cdot\frac{x^{1/2}}{\frac{1}{2}} = 4x^{1/2}$$ -
-x^{-1/3} terimi:
$$\int -x^{-1/3} , dx = -\frac{x^{2/3}}{\frac{2}{3}} = -\frac{3x^{2/3}}{2}$$
Sonuç olarak:
INT3:
Verilen integral:
Çözüm:
Yine, tüm terimleri ayrı ayrı çözelim:
-
\frac{1}{x} terimi:
$$\int \frac{1}{x} , dx = \ln|x|$$ -
x^2 terimi:
$$\int x^2 , dx = \frac{x^3}{3}$$ -
-x^8 terimi:
$$\int -x^8 , dx = -\frac{x^9}{9}$$ -
-x^{-12} terimi:
$$\int -x^{-12} , dx = -\frac{x^{-11}}{-11} = \frac{x^{-11}}{11}$$ -
x^{1/2} terimi:
$$\int x^{1/2} , dx = \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2x^{3/2}}{3}$$ -
-\frac{5}{x} terimi:
$$\int -\frac{5}{x} , dx = -5\ln|x|$$ -
-\sqrt[3]{x} veya x^{1/3} terimi:
$$\int -x^{1/3} , dx = -\frac{x^{4/3}}{\frac{4}{3}} = -\frac{3x^{4/3}}{4}$$
Sonuç olarak:
Diğer tüm sorular için çözüm benzer şekilde adım adım yapılacaktır. Eğer spesifik bir soru veya adım hakkında detay isterseniz, lütfen bildirin! 
@username
Sorudaki İntegralleri Adım Adım Çözümü
Aşağıda, fotoğrafta yer alan (INT1’den INT10’a kadar) örnek integrallerin her birini parça parça ele alarak çözümlerini gösteriyoruz. Her integralin çözümünde önce integrand (integral içi fonksiyon) terimlere ayrılır, ardından her terim ayrı ayrı entegre edilerek genel çözüme ulaşılır. Son olarak her integral için elde edilen sonuçları bir özet tabloda da görebilirsiniz.
INT1
Gözüken ifade (tam okunmasa da yaklaşık olarak) şöyle varsayıyoruz:
İçerideki 2e^x-3e^x tek terime indirgenebilir: 2e^x-3e^x=-e^x. Yani integrand:
Her bir terimi ayrı ayrı entegre edelim:
- \displaystyle \int -1\,dx = -x.
- \displaystyle \int x\,dx = \tfrac{x^2}{2}.
- \displaystyle \int -x^2\,dx = -\tfrac{x^3}{3}.
- \displaystyle \int -2x^3\,dx = -2\,\tfrac{x^4}{4}=-\tfrac{x^4}{2}.
- \displaystyle \int x^{\tfrac12}\,dx = \int x^{0.5}\,dx = \tfrac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}.
- \displaystyle \int -e^x\,dx = -e^x.
Toplayarak genel sonucu yazarsak:
INT2
Resimde kısmen “$\sqrt{x}, -6x^4$, 1/x^{3/4}, $2x^{-1/2}$” gibi terimler gözükmektedir. O hâlde yaklaşık şu integrali varsayıyoruz:
Ayrı ayrı bakalım:
- \displaystyle \int x^{\tfrac12}\,dx = \tfrac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}.
- \displaystyle \int -6x^4\,dx = -6\,\tfrac{x^5}{5}=-\tfrac{6}{5}x^5.
- \displaystyle \int x^{-\tfrac34}\,dx = \int x^{-0.75}\,dx = \frac{x^{-0.75+1}}{-0.75+1} = \frac{x^{0.25}}{0.25} = 4x^{\tfrac14}.
- \displaystyle \int 2x^{-\tfrac12}\,dx = 2\int x^{-\tfrac12}\,dx = 2\cdot 2\sqrt{x} = 4\sqrt{x}.
Hepsini toplayınca:
INT3
Fotoğraftaki üçüncü integrand tahminen şu terimleri içeriyor:
(Açıkça “$-\sqrt{32}” görülebilir. \sqrt{32}=4\sqrt{2}$.)
- \displaystyle \int \tfrac1x \,dx = \ln|x|.
- \displaystyle \int x^2\,dx = \tfrac{x^3}{3}.
- \displaystyle \int -x^8\,dx = -\tfrac{x^9}{9}.
- \displaystyle \int -x^{-12}\,dx = -\left[\tfrac{x^{-11}}{-11}\right] = \tfrac{x^{-11}}{11}.
- \displaystyle \int x^{\tfrac12}\,dx = \tfrac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}.
- \displaystyle \int -5x^{-\tfrac12}\,dx = -5\cdot 2\sqrt{x} = -10\sqrt{x}.
- \displaystyle \int -\sqrt{32}\,dx = -4\sqrt{2}\,x.
Toplamı:
INT4
Resimde “$\int dx = ?$” yazdığı görülüyor. Bu en basit integral:
INT5
“$\int \tfrac{dx}{3} = ?$” gibi gözüküyor. İçerde sabit katsayı 1/3 var:
INT6
Altıncı integrand net okunamıyor; “$2e^{2x}-3e^{-3x+1}+5.e^{7x-5x} +e^{-x} - e^x + \dots$” gibi karmaşık ifadelere benziyor. Burada yöntem aynıdır:
- Her e^{kx+a} tipi terim, \int e^{kx+a}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx+a} kuralıyla çözülür (katsayıları da ayrıca çarparız).
- Polinomsal veya \dots benzeri her terim önce üslü olarak yazılır ve aynı şekilde entegre edilir.
Örneğin:
• \int e^{2x}\,dx = \tfrac{1}{2}e^{2x}.
• \int e^{-3x+1}\,dx = e^1 \cdot \int e^{-3x}\,dx = e \cdot \bigl(-\tfrac{1}{3}e^{-3x}\bigr)= -\tfrac{e}{3} e^{-3x}.
• vb.
Bu şekilde her terimi parça parça bulup toplayabiliriz. Yazı net olmadığı için burada genel kuralı vermekle yetiniyoruz.
INT7
Benzer şekilde “$(x+1)e^{x^2-2x},dx$” gibi bir form gözükebilir (çok net değil). Eğer (x+1) ile (x^2-2x) arasında türevsel bir ilişki varsa, u=x^2-2x substitution (değişken değiştirme) yöntemi uygulanır.
-
\frac{d}{dx}(x^2-2x)=2x-2.
-
x+1 ifadesi tam olarak $(2x-2)$’nin yarısı olmayabilir. Net okumadığımız için yine yöntem diyelim:
- Uygun u seçilir.
- du ifadesi hesaplanır.
- İntegral u cinsine çevrilir.
- \int e^u\,du = e^u + C ile bitirilir.
INT8
Sekizinci integralde “$e^x + x^2 e^{x^3} + 3x^2 e^{5x^3} - \dots$” gibi güç ifadeleri var gibi gözüküyor. Yine benzer şekilde, u=x^3 veya benzeri substitution denenir.
Örneğin \int x^2 e^{x^3}\,dx tipik bir \int f'(x)\,e^{f(x)}\,dx = e^{f(x)} durumudur. Gerçekten de d(x^3)=3x^2\,dx olduğundan \int x^2 e^{x^3}\,dx ifadesinde \tfrac13 e^{x^3} şekline ulaşırız. Net yazılamadığından, yine ilke bu şekilde uygulanır.
INT9
Fotoğrafta (3-y)e^{y^2-6y+9}\,dy benzeri bir ifade seçilebiliyor. y^2 - 6y + 9 = (y-3)^2. Şöyle yaparız:
- u=(y-3)^2 \implies u' = 2(y-3).
- Integrand’te (3-y) var; dikkat edersek (3-y)=-(y-3).
Yazalım:
[
\int(3-y),e^{(y-3)^2},dy ;=;\int -,\bigl(y-3\bigr),e^{(y-3)^2},dy.
]
Şimdi v=y-3 \implies dv=dy. O hâlde integrand -v\,e^{v^2}. Bu, “$\int v e^{v^2},dv$” tipine benzer. Genellikle:
[
\int v,e^{v^2},dv = \tfrac12,e^{v^2}.
]
Bu durumda başında - olduğu için:
[
\int -v,e^{v^2},dv = -\tfrac12 e^{v^2}.
]
Dolayısıyla:
[
\int (3-y),e^{(y-3)^2},dy
= -\tfrac12 e^{(y-3)^2} + C.
]
INT10
Son integralde de (6y^4+4y)\,e^{y^3+y^2-5}\,dy benzeri görünüyor. Şu substitution’u deneyelim:
Türevi:
Ama integrand’imizda 6y^4+4y var. Bunu şöyle düzenleyebiliriz:
[
6y^4+4y = 2y,\bigl(3y^3+2\bigr).
]
Bu doğrudan 3y^2+2y formunu vermez. Ancak bazen ek manipülasyonlarla denk hale getirilebilir. Örneğin:
- $y^3+y^2-5$’in türevi 3y^2+2y.
- Elimizde 6y^4+4y = 2y(3y^3+2) tam uymuyor.
Muhtemelen ifadenin fotoğrafta başka bir basit türev ilişkisi vardır. Genel yöntem: Polinom çarpanlarını ayırıp, $t$’nin türevini elde etmeye çalışarak \int e^{t}\,dt formuna ulaşmak. Net görüntü yoksa, dizgeyi hatırlatarak bırakıyoruz.
Özet Tablo
| İntegral | Adım Adım Sonuç / Yöntem |
|---|---|
| INT1 | -x + \tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3} - \tfrac{x^4}{2} + \tfrac{2}{3}x^{3/2} - e^x + C |
| INT2 | \tfrac{2}{3}x^{3/2} \;-\;\tfrac{6}{5}x^5 \;+\;4x^{1/4} \;+\;4x^{1/2} + C |
| INT3 | $\ln |
| INT4 | x + C |
| INT5 | \tfrac{x}{3} + C |
| INT6 | Her terim \int e^{ax+b}, \int x^n, \ldots kurallarıyla çözülür. |
| INT7 | Muhtemelen u=x^2-2x vb. substitution yöntemiyle |
| INT8 | \int x^2 e^{x^3}\,dx = \tfrac13 e^{x^3} vb. benzeri alt/üst değişkenler |
| INT9 | \int (3-y)e^{(y-3)^2}\,dy = -\tfrac12 e^{(y-3)^2} + C |
| INT10 | t = y^3 + y^2 - 5 tipi substitution veya türev ilişkisine bakılır |
Kısa Özet
Bu integraller, temel olarak şu tekniklerle çözülür:
- Polinom veya kök içeren terimlerde x^n kuralı:\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
- Üstel fonksiyonlarda \int e^{kx}\,dx = \tfrac{1}{k}e^{kx}.
- Yer değiştirme (substitution):
- Basit biçimde u=f(x) seçip du = f'(x)\,dx yapar ve \int e^{f(x)}\,f'(x)\,dx = e^{f(x)}.
- Logaritmik fonksiyon:\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|.
Fotoğrafta görünmeyen ama yukarıdaki gibi tahmin edilen bütün integraller, bu temel kurallar ile ya doğrudan ya da uygun bir değişken değiştirmeyle yapılır.
İntegral sorularınızı tek tek çözerken şu temel yaklaşımı kullanabilirsiniz:
- Her terimi ayrı ayrı entegre edin. Örneğin polinom terimleri, köklü ifadeler, üstel fonksiyonlar (ör. e^x) ve rasyonel ifadeler (ör. \tfrac{1}{x}) gibi bölümler, ayrı ayrı bilinen formüllerle entegre edilir.
- Çarpım veya bileşik fonksiyon tipi (ör. e^{f(x)}, kök içinde polinom vb.) görüyorsanız üstelik integrand’ın türevine benzer bir çarpan var mı diye kontrol edin; gerekirse uygun “u-substitution” (değişken değiştirme) veya “integration by parts” (parçalı integrasyon) yöntemini uygulayın.
Aşağıda, fotoğrafta yer alan (net okunan) bazı maddelerin çözümünde izlenebilecek yollar örneklenmiştir:
INT 4) ∫ dx = ?
Bu en basit tiptir:
∫ dx = x + C
Buradaki C, her zamanki gibi keyfi sabittir.
INT 5) ∫(dx / 3) = ?
Bu da sabit katsayıyla çarpılmış bir integraldir:
∫(dx / 3) = (1 / 3) ∫ dx = x / 3 + C
INT 9) ∫( (3−y) e^(y²−6y+9) ) dy = ?
Dikkat ederseniz, y² − 6y + 9 = (y − 3)² biçimindedir ve integrand içinde (3−y) faktörü göze çarpıyor. Şu şekilde devam edebiliriz:
-
Uygun substitution (u-substitution) düşünelim:
u = (y−3)² ⇒ du = 2(y−3) dy
Ancak (3−y) = −(y−3) olduğundan (3−y) dy, (y−3) dy ifadesine ancak ekstra bir eksi işaretiyle dönüşüyor. -
Şu eşitlikleri kullanalım:
(3−y) dy = −(y−3) dy
ve du = 2(y−3) dy ⇒ (y−3) dy = du / 2. -
İntegrali dönüştürürsek:
∫ ( (3−y) e^((y−3)² ) ) dy
= ∫ [ −(y−3) e^((y−3)² ) ] dy
= −∫ [ (y−3) e^((y−3)² ) ] dy.Sonra (y−3) dy = du / 2 olduğuna göre:
= − ∫ ( du / 2 ) e^u
= −1/2 ∫ e^u du
= −1/2 e^u + C
= −½ e^((y−3)²) + C.
Dolayısıyla:
∫( (3−y) e^( (y−3)² ) ) dy = −½ e^((y−3)²) + C.
INT 10) ∫( (6 y⁴ + 4 y) e^(y³ + y² − 5) ) dy = ?
Bu integral, türev-denkleştirme (u-substitution) açısından daha çetrefilli görünüyor.
• İçteki fonksiyon: y³ + y² − 5.
• Türevi: 3 y² + 2 y.
• İntegraldeki çarpan ise 6 y⁴ + 4 y = 2 y² (3 y² + 2 y).
Burada 3 y² + 2 y faktörünün yanında ekstra bir y² daha yer alıyor. Genellikle şöyle bir yola başvurulur:
- u = y³ + y² − 5 ⇒ du = (3 y² + 2 y) dy.
- İntegralde 6 y⁴ + 4 y = (3 y² + 2 y)·(2 y²).
Böylece:
∫ ( (6 y⁴ + 4 y) e^(y³ + y² − 5 ) ) dy
= ∫ ( 2 y²·(3 y² + 2 y ) ) e^u dy
= ∫ ( 2 y² ) e^u (3 y² + 2 y ) dy
= ∫ 2 y² e^u du.
Fakat bu kez y² hâlâ u cinsinden yazılmamış oluyor; yani doğrudan u-substitution bütün ifadeyi temizlemeye yetmiyor. Bu durum, integralin “elemanter” bir biçimde basit eşitliğe indirgenemeyeceği anlamına gelebilir veya daha karmaşık teknikler (örneğin tablodan integrasyon, özel fonksiyonlar veya ek manipülasyonlar) gerektirebilir. Dolayısıyla bu integral, standart bir “u-substitution” ile tamamlanmıyor. Eğer problemde ek ipuçları yoksa (örneğin y²’yi u cinsinden tekrar ifade edebileceğiniz bir ek denklem vb. yoksa) sonuç muhtemelen kapalı formda kalır veya daha ileri bir yöntem (ör. “diferansiyel denklem benzeri” yaklaşım) uygulanabilir.
Kısacası INT 10, verilen şekilde “temel” integral kurallarıyla basit bir kapalı forma inmez. Muhtemel bir cevabı,
∫ (6 y⁴ + 4 y) e^(y³ + y² − 5 ) dy = 2 ∫ y² e^u du
şeklinde “kısmi” bırakmaktır yahut daha yüksek matematik araçlarıyla (örneğin özel fonksiyon tanımı) yol aranır.
Bu örnekler dışındaki (INT 1, INT 2, INT 3, INT 6 vb.) integrallerinizi de benzer biçimde parçalayıp:
• Terim terim ayırarak
• Standart integral tablolarına veya basit u-değişkenine bakarak
• Gerekirse Integration by Parts (parçalı integrasyon) uygulayarak
adım adım çözebilirsiniz. Her adımda türev-geri kontrolü (yani bulduğunuz sonucun türevini hesaplayarak integrand’ı verip vermediğini) yapmanız faydalı olur.
Kolay gelsin!
@username