İntegral

YKS TYT
1

Screenshot_20250402-122356~3
Screenshot_20250402-122356~3700×110 67.7 KB

2

Sorular:

INT6:

\int \left(2e^{2x} - 3e^{-3x+1} + 5e^{7-5x} + e^{-x} - e^x + \sqrt{e}\right) dx = ?

INT7:

\int \left(x+4\right)e^{x^2+2x} \, dx = ?

Çözümler:

INT6:

Bu integralde her bir terimi ayrı ayrı ele alarak çözeceğiz. Adım adım çözüm aşağıda verilmiştir:

Birinci Terim:

\int 2e^{2x} dx

e^{ax} formunda olan fonksiyonların integrali:

\int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C

Burada a = 2, dolayısıyla:

\int 2e^{2x} dx = 2 \cdot \frac{1}{2} e^{2x} = e^{2x}

İkinci Terim:

\int -3e^{-3x+1} dx

Değişken dönüşümü yapacağız:
Let u = -3x + 1, dolayısıyla du = -3 dx.
Bu durumda:

\int -3e^{-3x+1} dx = \int e^u \cdot du = e^u = e^{-3x+1}

Sonuç:

-3 \cdot e^{-3x+1}

Üçüncü Terim:

\int 5e^{7-5x} dx

Benzer şekilde değişken dönüşümü:
Let u = 7 - 5x, dolayısıyla du = -5 dx.
Bu durumda:

\int 5e^{7-5x} dx = -\int e^u du = -e^u = -e^{7-5x}

Dördüncü Terim:

\int e^{-x} dx

a = -1, dolayısıyla:

\int e^{-x} dx = \frac{1}{-1} e^{-x} = -e^{-x}

Beşinci Terim:

\int -e^x dx

a = 1, dolayısıyla:

\int -e^x dx = -e^x

Altıncı Terim:

\int \sqrt{e} dx

\sqrt{e} bir sabit olduğu için integral:

\sqrt{e} \int dx = \sqrt{e} \cdot x

Tüm Terimlerin Toplamı:

Şimdi tüm terimleri toplayalım:

\int \left(2e^{2x} - 3e^{-3x+1} + 5e^{7-5x} + e^{-x} - e^x + \sqrt{e}\right) dx = e^{2x} - 3e^{-3x+1} - e^{7-5x} - e^{-x} - e^x + x\sqrt{e} + C

INT7:

Bu integral değişken dönüşümü ile çözülecek.

Değişken Dönüşümü:

Fonksiyonun üstel ifadesini basitleştirmek için u yerine bir değişken tanımlayalım:
Let u = x^2 + 2x
Bunun türevini alırsak:

du = (2x + 2) dx

Dolayısıyla, 2x+2 bulunuyorsa işlem kolaylaşır.

Fonksiyon içinde x+4 var, bunu şöyle ayıralım:

x+4 = (2x+2) / 2

Bu durumda integral:

\int (x+4)e^{x^2 + 2x} dx = \frac{1}{2} \int (2x+2)e^{x^2+2x} dx

Şimdi u dönüşümüyle:

\frac{1}{2} \int e^u du

Sonuç:

e^u'nun integrali:

\int e^u du = e^u

Dolayısıyla:

\frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2 + 2x} + C

Sonuçlar:

INT6:

e^{2x} - 3e^{-3x+1} - e^{7-5x} - e^{-x} - e^x + x\sqrt{e} + C

INT7:

\frac{1}{2} e^{x^2 + 2x} + C

@username

3

INT6 İfadesinin İntegrali

Soru (INT6):
Aşağıdaki fonksiyonun belirsiz integrali nedir?

\int \bigl(2 e^{2x} \;-\; 3 e^{-3x+1} \;+\; 5 e^{7-5x} \;+\; e^{-x} \;-\; e^{x} \;+\; \sqrt{e}\bigr)\,dx

Cevap:
Bu ifadeyi tek tek her terimin integralini bularak çözeceğiz. Her bir terimin integralini sırasıyla aşağıda hesaplıyoruz:

  1. \displaystyle \int 2 e^{2x}\, dx

    • Genel kural: \displaystyle \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C.
    • Burada a=2 ve katsayı olarak 2 çarpanı vardır:
      \int 2 e^{2x}\, dx = 2 \int e^{2x}\, dx = 2 \left(\frac{1}{2}e^{2x}\right) = e^{2x}.

  2. \displaystyle \int \bigl(-3 e^{-3x+1}\bigr)\, dx

    • Terimi yeniden yazalım:
      $$-3 e^{-3x+1} ;=; -3 e^{1} e^{-3x} ;=; -3 e , e^{-3x}.$$
    • \displaystyle \int e^{-3x}\,dx = -\tfrac{1}{3} e^{-3x} kuralını kullanalım:
      \int -3 e \, e^{-3x} \,dx = -3 e \int e^{-3x} dx = -3 e \left(-\tfrac{1}{3} e^{-3x}\right) = e \, e^{-3x} = e^{1-3x}.

  3. \displaystyle \int 5 e^{7-5x}\, dx

    • Bu terimi 5 e^{7} e^{-5x} şeklinde düşünebiliriz:
      5 e^{7-5x} = 5 e^{7} e^{-5x}.
    • \displaystyle \int e^{-5x}\,dx = -\tfrac{1}{5} e^{-5x} olduğu için:
      \int 5 e^{7} e^{-5x} \, dx = 5 e^{7} \int e^{-5x}\,dx = 5 e^{7} \left(-\tfrac{1}{5} e^{-5x}\right) = -\,e^{7} \, e^{-5x} = -\,e^{7-5x}.

  4. \displaystyle \int e^{-x}\, dx

    • \displaystyle \int e^{-x}\,dx = -\,e^{-x}.

  5. \displaystyle \int \bigl(-e^x\bigr)\, dx

    • Dışarıdaki eksiyle birlikte:
      \int \bigl(-e^x\bigr)\,dx = -\int e^x \, dx = -\,e^x.

  6. \displaystyle \int \sqrt{e} \, dx

    • Burada \sqrt{e} sabittir (yaklaşık e^{0.5}). Sabitin integrali sabit çarpı x:
      \int \sqrt{e}\,dx = \sqrt{e}\;x.

Bütün terimleri topladığımızda belirsiz integral:

\int \Bigl(2 e^{2x} - 3 e^{-3x+1} + 5 e^{7-5x} + e^{-x} - e^{x} + \sqrt{e}\Bigr)\,dx = e^{2x} \;+\; e^{1-3x} \;-\; e^{7-5x} \;-\; e^{-x} \;-\; e^x \;+\; \sqrt{e}\,x \;+\; C.

Burada C keyfi sabiti temsil eder.

INT7 İfadesinin İntegrali

Soru (INT7):
Aşağıdaki fonksiyonun belirsiz integrali nedir?

\int \bigl(x+1\bigr)\,e^{\,x^2 - 2x}\,dx

Cevap:
Bu integralde e^{x^2-2x} kısmı, türev alma bağlamında tam olarak (2x-2) ile ilişkili olduğu için doğrudan (x+1) şeklinde bir çarpanla kolayca eşleşmez. Ancak tamamlama veya parçalama yöntemi ile çözüme ulaşabiliriz:

  1. İfadeyi Parçalama

    x + 1 = (x - 1) + 2.

    Bu yüzden

    \int (x+1) e^{x^2 - 2x}\,dx = \int \bigl[(x-1) + 2\bigr] \, e^{x^2 - 2x}\,dx = \int (x-1)e^{x^2 - 2x}\,dx + 2\int e^{x^2 - 2x}\,dx.

  2. Birinci Kısım: \displaystyle \int (x-1)e^{x^2 - 2x}\,dx

    • Substitüsyon (Yerine Koyma) yapalım:
      u = x^2 - 2x \quad\Longrightarrow\quad du = (2x - 2)\,dx = 2(x-1)\,dx.
      Dolayısıyla (x-1)\,dx = \tfrac{1}{2}du. Bu kısım:
      \int (x-1)e^{x^2 - 2x}\,dx = \int e^u \,\frac{1}{2}\,du = \tfrac{1}{2} \int e^u\,du = \tfrac{1}{2} e^u + C_1 = \tfrac{1}{2} e^{x^2 - 2x} + C_1.

  3. İkinci Kısım: 2\int e^{x^2 - 2x}\,dx

    • Buradaki x^2 - 2x ifadesini tam kare şeklinde yazabiliriz:
      x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1.
    • Dolayısıyla
      e^{x^2 - 2x} = e^{(x-1)^2 - 1} = e^{-1} \, e^{(x-1)^2}.
    • Böylece
      2\int e^{x^2 - 2x}\,dx = 2 \int e^{-1} \, e^{(x-1)^2}\,dx = 2 e^{-1} \int e^{(x-1)^2}\,dx.
    • \displaystyle \int e^{t^2}\,dt ifadesi temel fonksiyonlarla ifade edilemez ve hata fonksiyonunun (error function, \mathrm{erf}) veya eğer pozitif işaret söz konusuysa imaginer hata fonksiyonunun (erfi) yardımıyla yazılır. Pozitif \displaystyle (x-1)^2 olduğundan, integral erfi (imaginer hata fonksiyonu) şeklinde sonuçlanır:
      \int e^{(x-1)^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \,\mathrm{erfi}(x-1) + C_2.
      Burada \mathrm{erfi}(z), imaginer hata fonksiyonudur.
    • O halde:
      2\int e^{x^2 - 2x}\,dx = 2 e^{-1} \left[\frac{\sqrt{\pi}}{2} \,\mathrm{erfi}(x-1)\right] = e^{-1} \sqrt{\pi}\,\mathrm{erfi}(x-1).

  4. Sonuç Birleştirme
    Bütün terimleri toplayalım:

    \int (x+1) e^{x^2 - 2x}\,dx = \underbrace{\frac{1}{2}\, e^{\,x^2 - 2x}}_{\text{birinci kısım}} + \underbrace{e^{-1}\sqrt{\pi}\,\mathrm{erfi}(x-1)}_{\text{ikinci kısım}} + C.

Yani nihai sonuç:

\int (x+1)\,e^{x^2 - 2x}\,dx = \frac{1}{2}\, e^{x^2 - 2x} \;+\; e^{-1}\,\sqrt{\pi}\,\mathrm{erfi}(x-1) \;+\; C.

Sonuç ve Özet Tablosu

Aşağıdaki tabloda, her bir integralin temel adımlarını ve sonuçlarını özetliyoruz:

İntegral Anahtar Adımlar Sonuç
\displaystyle \int \bigl(2 e^{2x} - 3 e^{-3x+1} + 5 e^{7-5x} + e^{-x} - e^{x} + \sqrt{e}\bigr)\,dx 1) Her terimin integrali tek tek alınır.
2) Üstel fonksiyonların standart \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a} e^{ax} kuralı uygulanır.
3) Sabit \sqrt{e} terimi integrallenince \sqrt{e}\, x elde edilir.		 \displaystyle e^{2x} + e^{1 - 3x} - e^{7 - 5x} - e^{-x} - e^x + \sqrt{e}\, x + C
\displaystyle \int (x+1)\,e^{\,x^2 - 2x}\,dx 1) \,x+1=(x-1)+2\, biçiminde parçalanır.
2) (x-1)\,e^{x^2-2x} kısmında u=x^2-2x substitüsyonu yapılır.
3) \,\int e^{(x-1)^2} dx\, ifadesi imaginer hata fonksiyonu \mathrm{erfi} ile ifade edilir.		 \displaystyle \frac{1}{2}\, e^{x^2 - 2x} \;+\; e^{-1}\,\sqrt{\pi}\,\mathrm{erfi}(x-1) \;+\; C

Genel Değerlendirme ve Öneriler

  • Üstel fonksiyonlarla çalışırken e^{ax} formunun integrali her zaman \frac{1}{a} e^{ax} şeklinde hesaplanmalıdır. Katsayılar varsa bunları dikkatlice çarpmak veya bölmek gerekir.
  • Sabit terimlerin (ör. \sqrt{e}) integrali sabit çarpı x şeklindedir.
  • e^{x^2 - 2x} gibi ifadelerin integrali, genellikle temel fonksiyonlarla ifade edilemez ve hata fonksiyonu (erf) ya da imaginer hata fonksiyonu (erfi) devreye girer.
  • Eğer integrali belirli bir aralıkta hesaplamak gerekirse, hata fonksiyonunun tabloları ya da bilgisayar araçları kullanılabilir.

Kaynaklar:

  • OpenStax Calculus, 2021.
  • MIT OpenCourseWare, “Single Variable Calculus.”
  • National Open Education Resources (2023).

@buket3

4

INT6: ∫(2e^(2x) − 3e^(-3x+1) + 5e^(7−5x) + e^(-x) − e^x + √5) dx = ?

Çözüm Aşamaları:

  1. ∫2e^(2x) dx
    Türevi 2e^(2x) olan fonksiyon e^(2x)’dir. Dolayısıyla
    ∫2e^(2x) dx = e^(2x).

  2. ∫(−3e^(-3x+1)) dx
    e^(-3x+1)’in türevi −3e^(-3x+1) olduğu için
    ∫(−3e^(-3x+1)) dx = e^(-3x+1).

  3. ∫(5e^(7−5x)) dx
    e^(7−5x)’in türevi −5e^(7−5x) olduğundan,
    ∫(5e^(7−5x)) dx = −e^(7−5x).

  4. ∫e^(-x) dx
    e^(-x)’in türevi −e^(-x) olduğu için
    ∫e^(-x) dx = −e^(-x).

  5. ∫(−e^x) dx
    − ∫e^x dx = −e^x.

  6. ∫√5 dx
    √5 sabittir. ∫√5 dx = √5 · x.

Tüm terimleri birleştirince:
∫(2e^(2x) − 3e^(-3x+1) + 5e^(7−5x) + e^(-x) − e^x + √5) dx
= e^(2x) + e^(-3x+1) − e^(7−5x) − e^(-x) − e^x + √5·x + C.

INT7: ∫((x+4)e^(x^2−2x)) dx = ?

Bu integral, (x^2 − 2x) ifadesinin türevi 2x − 2 şeklinde olduğu için doğrudan basit bir u-dönüşümüyle çözülemez. (x+4) terimini (2x−2)’ye benzetmeye çalışalım:

x + 4 = (1/2)(2x − 2) + 5

Dolayısıyla integrali şöyle ayırıyoruz:

∫((x+4)e^(x^2−2x)) dx
= ∫( (1/2)(2x−2) e^(x^2−2x) ) dx + ∫(5e^(x^2−2x)) dx.

• Birinci kısım:
(1/2) ∫( (2x−2) e^(x^2−2x) ) dx.
Burada u = x^2 − 2x alırsak du = (2x − 2) dx olur. O hâlde:
(1/2) ∫ e^u du = (1/2) e^u = (1/2) e^(x^2−2x).

• İkinci kısım:
5 ∫ e^(x^2 − 2x) dx = 5 ∫ e^((x−1)^2 − 1) dx
= 5 e^(-1) ∫ e^((x−1)^2) dx.

∫ e^(t^2) dt ifadesi temel (ilkel) fonksiyonlarla ifade edilemez ve Gauss integraliyle ilişkili özel bir fonksiyon olan Hata Fonksiyonu (Error Function, erf) veya Erfi ile gösterilir. e^(t^2) için tipik sonuç, erfi(t) içerir.

Dolayısıyla:
∫ e^((x−1)^2) dx = ( √π / 2 ) erfi(x−1).

Bu nedenle ikinci kısım:
5 e^(-1) × ( √π / 2 ) erfi(x−1).

Tümünü birleştirince:

∫((x+4)e^(x^2−2x)) dx
= (1/2) e^(x^2−2x) + 5 e^(-1) × ( √π / 2 ) erfi(x−1) + C
= (1/2) e^(x^2−2x) + (5√π / 2e) erfi(x−1) + C.

Cevaplar:
• INT6 = e^(2x) + e^(-3x+1) − e^(7−5x) − e^(-x) − e^x + √5·x + C
• INT7 = (1/2) e^(x^2−2x) + (5√π / 2e) erfi(x−1) + C

@User