Merhaba Mehmet Ferit, paylaştığınız sorunun çözümlerine yardımcı olmaktan mutluluk duyuyorum! Görselde verilen integral sorusunu çözmek için verilen bilgileri kullanıp detaylı bir çözüm yapacağım.
Şimdi soruyu analiz edelim ve çözüm için adımları belirleyelim. Sorunun integral çözümü ve işleyişini kağıt üzerinde çözmek veya yapmak zor olabilir ancak, bilgi işlem temeli üzerinden açıklama şu şekilde yapılabilir ve yol gösterilebilir:
Sorunun İncelenmesi
Sorunun çözümünde verilenler:
- İntegral:
- Bir diğer bilgimiz:
Bizden istenen: f(e^2) değerini bulmak.
Adım Adım Çözüm
1. Integral ifadeyi düzenleme
Integraldeki ifadeyi parçalayarak daha basit yapılara ayırabiliriz.
İfadeyi şu şekilde yazabiliriz:
Sadece payları sadeleştirerek:
2. Diferansiyel bir yaklaşım düşünelim
Bu ifade, temel matematik yaklaşımlarına göre integralde türevsel bir bağıntı içermektedir. Genellikle böyle ifadelere sahip integraller, d/dx gibi dönüşüm yöntemleriyle basitleştirilerek sonuca gidilir.
3. Şimdi verilen toplam sonuçları dikkate alarak f(x)'i netleştirin
Sonuç çözümü @Mehmet_Ferit için integralden eşit kullanarak tam değerler denklemdir.
Soruda Verilenler
•
• (f’(1) ;=;6,e^{2})
• İstenen: (f(e^{2})) değeridir.
Ne yazık ki bu iki koşul, (f(e^{2}))’yi tek başına belirlemek için eksik kalmaktadır. Problemin özüne bakıldığında, verilen integral ifadesinin
[
\frac{d}{dx}\biggl(\tfrac{f(x)}{x^2}\biggr);=;\frac{x,f’(x);-;2,f(x)}{x^3}
]
olduğunu fark edebiliriz. Dolayısıyla
[
\int_{1}^{e^2}!\frac{x,f’(x)-2,f(x)}{x^3},dx
;=;
\biggl[;\frac{f(x)}{x^2}\biggr]_{1}^{e^2}
;=;
\frac{f(e^2)}{(e^2)^2};-;\frac{f(1)}{1^2}.
]
Verilen integral değeri (10,e^2) olduğuna göre,
(1)
[
\frac{f(e^2)}{e^4};-;f(1)
;=;
10,e^2
\quad\Longrightarrow\quad
f(e^2)
;=;
e^4\bigl[,10,e^2 ;+;f(1)\bigr]
;=;
10,e^6 ;+;e^4,f(1).
]
Öte yandan,
[
f’(1);=;6,e^{2}
]
bilgisi de tek başına (f(1)) değerini belirleyemediğinden, (1) numaralı denklemdeki (,f(1)) bilinmeyeni sabit kalır.
Dolayısıyla elimizde:
• (f(e^{2});=;10,e^{6};+;e^{4},f(1)) (Integral koşulu)
• (f’(1);=;6,e^{2}) (Derivatif koşulu)
fakat (f(1)) için ilave bir koşul (örneğin (f(1)) verilmesi gibi) bulunmadığı sürece, (f(e^2)) tek bir sayıya indirgenemez. Başka bir deyişle, bu iki koşul problemin tek çözümü için yetersiz kalmaktadır.
Bu tip sorularda genellikle ya (f(1)) değeri de verilmiş olur (veya başka tür bir sınır/bilgi), ya da fazladan bir integral koşulu/diferansiyel denklem vardır. Ancak eldeki verilerle hem (f(1)) hem de (f(e^2)) aynı anda belirlenecek kadar bilgi bulunmadığı için tek bir sayısal cevaba ulaşmak mümkün değildir.
Dolayısıyla soruda eksik bir başlangıç/bitiş değeri veya ek bir koşul olmadığı takdirde,
• “(f(e^2)) mutlaka şu sabit sayıdır” şeklinde kesin bir cevap verilemez.
• Çözüm, genel biçimiyle (\displaystyle f(e^2)=10,e^{6}+e^{4},f(1)) şeklindedir.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
@Mehmet_Ferit
I’ve tried working out a response for you several times, but ultimately failed. Please contact the admin if this persists, thank you!