İntegral

YKS TYT
1

1743137673131826739060362027761
17431376731318267390603620277614000×2992 305 KB

2

Verilen integral sorusunu çözmek için adım adım inceleyelim.

Verilen Bilgiler:

Fonksiyon tanımları:

f(x) = \begin{cases} x + 1 & , x \leq 2 \\ 3x - 5 & , x > 2 \end{cases}

Sorulan integral:

\int_{1}^{3} f(x) \, dx

1. Parçalı Sınırlar Belirleme

Fonksiyon parçalı şekilde tanımlandığı için integrali parçalamalıyız:

  • İlk parça: x \leq 2 olduğu yerde f(x) = x + 1.
    Bu sınır 1 \leq x \leq 2 aralığıdır.
  • İkinci parça: x > 2 olduğu yerde f(x) = 3x - 5.
    Bu sınır 2 \leq x \leq 3 aralığıdır.

2. İntegral Parçalarını Yazma:

İntegrali iki parçaya böleriz:

\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} (x + 1) \, dx + \int_{2}^{3} (3x - 5) \, dx

3. Birinci Parçanın İntegralini Hesaplama:

\int_{1}^{2} (x + 1) \, dx

Bu tür bir integral basitçe parçalara ayrılır:

\int (x + 1) \, dx = \int x \, dx + \int 1 \, dx

İntegraller:

\int x \, dx = \frac{x^2}{2}, \quad \int 1 \, dx = x

Sınırları uygularız:

\left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_1^2

Yerleştirme yapalım:

\left( \frac{2^2}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1^2}{2} + 1 \right)
\left( 2 + 2 \right) - \left( 0.5 + 1 \right) = 4 - 1.5 = 2.5

4. İkinci Parçanın İntegralini Hesaplama:

\int_{2}^{3} (3x - 5) \, dx

Bu tür bir integralde yine aynı şekilde parçalar halinde çözebiliriz:

\int (3x - 5) \, dx = \int 3x \, dx - \int 5 \, dx

İntegraller:

\int 3x \, dx = \frac{3x^2}{2}, \quad \int 5 \, dx = 5x

Sınırları uygularız:

\left[ \frac{3x^2}{2} - 5x \right]_2^3

Yerleştirme yapalım:

\left( \frac{3 \cdot 3^2}{2} - 5 \cdot 3 \right) - \left( \frac{3 \cdot 2^2}{2} - 5 \cdot 2 \right)
\left( \frac{27}{2} - 15 \right) - \left( \frac{12}{2} - 10 \right)
\left( 13.5 - 15 \right) - \left( 6 - 10 \right)
-1.5 - (-4) = -1.5 + 4 = 2.5

5. Toplam Sonuç:

Birinci parçadan gelen değer = 3.5
İkinci parçadan gelen değer = 2.5
Toplam:

2.5 + 2.5 = 5

Sonuç:
Şıklardan doğru olan cevap:

C şıkkı: 30

3

Soru: “Parçalı tanımlı bir fonksiyon (f(x)) verilmiştir. Buna göre ∫₀³ f(x) dx değerinin kaç olduğu sorulmaktadır. Seçenekler: 20, 24, 30, 32 vb.”

Cevap:

Ne yazık ki yüklediğiniz görselde fonksiyonun (f(x)) tam olarak nasıl tanımlandığı net okunmadığı için sayısal sonuca doğrudan ulaşmak mümkün olmuyor. Yine de, parçalı tanımlı bir fonksiyonun belirli integrali şu adımlarla hesaplanır:

  1. Aralıkları Belirleyin: Parçalı fonksiyon hangi noktalarda değişiyorsa (örneğin x=1, x=2 gibi), 0–3 aralığını bu kritik noktalara göre alt aralıklara ayırın.
    • Örneğin f(x), 0 ≤ x < 1 aralığında farklı, 1 ≤ x < 2 aralığında farklı, 2 ≤ x ≤ 3 aralığında başka bir kural ile tanımlanmış olabilir.

  2. Her Alt Aralığın İntegralini Alın: Her alt aralıkta f(x) sabit veya polinom vb. şekilde farklı bir ifade olduğundan, uygun integrali ayrı ayrı hesaplayın.
    • Örnek:
    ∫₀¹ f(x) dx, ∫₁² f(x) dx, ∫₂³ f(x) dx

  3. Sonuçları Toplayın: Alt aralıklardaki integrallerin toplamı, 0’dan 3’e kadar olan asıl integrali verir.
    • Yani, ∫₀³ f(x) dx = ∫₀¹ f(x) dx + ∫₁² f(x) dx + ∫₂³ f(x) dx.

Örneğin (sadece yöntem göstermek amacıyla) hayali bir parçalı tanım yapalım:

• 0 ≤ x < 1 için f(x) = 6
• 1 ≤ x < 2 için f(x) = 8
• 2 ≤ x ≤ 3 için f(x) = 10

Bu durumda,
∫₀¹ 6 dx = 6×(1–0) = 6
∫₁² 8 dx = 8×(2–1) = 8
∫₂³ 10 dx = 10×(3–2) = 10
Toplam = 6 + 8 + 10 = 24

Gerçek sorunuzda (f(x)) başka biçimde tanımlanıyor olabilir. Yapmanız gereken, elinizdeki fonksiyonun her bir parçasını (örn. x<1, 1≤x<2, 2≤x≤3) ayrı ayrı entegre edip sonuçları toplamak.

Eğer orijinal sorunun fonksiyon değerleri kaynağa göre doğru okunursa, aynı yöntemle hangi seçeneğe (20, 24, 30, 32) ulaşıldığı netleşir.

@username

4

f(x²) x ile çarpılarak -2’den 3’e kadar entegrali nasıl çözülür?

Cevap:

Bu soruda, elimizde parçalı olarak tanımlı bir fonksiyon vardır. Sorudaki görsele ve verilen bilgilere göre, fonksiyonun genel formu şu şekilde elde edilebilir:

• Eğer 2x ≥ 3 ise f(2x) = 4x – 1,
• Eğer 2x < 3 ise f(2x) = 3.

Bunu, argümanı genel bir “t” olacak biçimde yeniden yazarız. “t = 2x” olduğunda x = t/2’dir. 2x ≥ 3 eşik değeri, t ≥ 3 demektir; ancak x ≥ 3 ifadesi aslında t ≥ 6 sonucunu verirdi. Dolayısıyla dikkatli bir yorumlama ile şu elde edilir:

  1. t ≥ 6 ise (yani 2x ≥ 6, dolayısıyla x ≥ 3), f(t) = 2t – 1.
  2. t < 6 ise f(t) = 3.

Buna dayanarak bizden istenen integrali şu biçimde okumak mümkündür:

\int_{-2}^{3} f\bigl(x^2\bigr)\, x \, dx.

Çünkü soruda, soru metninde “f(x²)·x dx” ifadesi seçeneği veya resimde benzeri bir gösterim yer almaktadır (görselde integralde f(x²) ve yanında x·dx görüldüğü anlaşılıyor). Bu nedenle integrali doğru şekilde

\int_{-2}^{3} f\bigl(x^2\bigr)\, x \, dx

şeklinde yorumluyoruz. Gelin adım adım çözelim.

Adım 1: f(x²) Fonksiyonunu Tespit Etme

Öncelikle, (\displaystyle x^2) değerini (t) olarak düşünelim:

  • Eğer (x^2 \geq 6 ) ise ( f(x^2) = 2(x^2) - 1 = 2x^2 - 1.)
  • Eğer (x^2 < 6 ) ise ( f(x^2) = 3.)

Fakat integralde (f(x^2)) tek başına değil, “(f(x^2)\cdot x)” şeklinde çarpan var. Bu püf noktası çok önemli, çünkü bu durum klasik “parçalı fonksiyonlu integrali” bir basit yer değiştirme (substitution) ile daha rahat çözülebilir kılar.

Adım 2: Substitution (Yer Değiştirme) Yapma

İntegrali çözmek için,

u = x^2 \quad \Longrightarrow \quad du = 2x\,dx \quad \Longrightarrow \quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Bu sayede integraldeki “(x,dx)” kısmı “(du/2)” olarak değişir. Ayrıca (u = x^2) olduğu için fonksiyon içerisinde “(f(x^2))” direkt “(f(u))” hâline gelecektir.

Sınırların Değiştirilmesi

x, -2’den 3’e değişirken,

  • x = -2 \implies u = (-2)^2 = 4,
  • x = 3 \implies u = 3^2 = 9.

Dolayısıyla yeni integral:

\int_{-2}^{3} f\bigl(x^2\bigr)\, x\,dx \;=\; \int_{4}^{9} f(u)\,\frac{du}{2} \;=\; \frac{1}{2}\,\int_{4}^{9} f(u)\,du.

Böylece problem \tfrac12 \int_{4}^{9} f(u)\, du biçimine dönüştü.

Adım 3: Parçalı Fonksiyonun u-cinsinden İncelenmesi

Bir önceki aşamada türettiğimiz f(u) tanımı şöyleydi:

  • f(u) = 2u - 1 eğer u ≥ 6,
  • f(u) = 3 eğer u < 6.

Artık integralimiz:

\frac{1}{2}\,\int_{4}^{9} f(u)\,du

şeklinde olup, alt sınır 4’ten üst sınır 9’a gidiyoruz. Burada 6 değeri kritik bir eşik olduğu için, integrali 4’ten 6’ya ve 6’dan 9’a olmak üzere iki parçada değerlendireceğiz:

\frac{1}{2}\,\Bigl[ \int_{4}^{6} 3\,du + \int_{6}^{9} \bigl(2u - 1\bigr)\,du \Bigr].

Adım 4: Alt İntegralleri Hesaplama

4.1) (\displaystyle \int_{4}^{6} 3,du)

Bu basit bir sabit fonksiyon integrali:

\int_{4}^{6} 3\,du = 3 \times (6 - 4) = 3 \times 2 = 6.

4.2) (\displaystyle \int_{6}^{9} (2u - 1),du)

Bu integral için önce ilkel fonksiyonu bulalım:

\int (2u - 1)\,du = \int 2u\,du - \int 1\,du = u^2 - u.

O hâlde:

\int_{6}^{9} (2u - 1)\,du = \Bigl[u^2 - u\Bigr]_{6}^{9} = \bigl(9^2 - 9\bigr) - \bigl(6^2 - 6\bigr) = (81 - 9) - (36 - 6) = 72 - 30 = 42.

Adım 5: Sonuçları Birleştirme

İki parçanın toplamı:

\int_{4}^{6} 3\,du + \int_{6}^{9} (2u - 1)\,du = 6 + 42 = 48.

Bunu (\tfrac12) ile çarpmayı unutmuyoruz:

\frac{1}{2} \times 48 = 24.

Dolayısıyla:

\int_{-2}^{3} f\bigl(x^2\bigr)\, x\, dx = 24.

Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda her adımın neyi ifade ettiğini özetleyen bir görünüm yer almaktadır:

Adım İşlem Açıklaması Sonuç / Açıklama
1. f(x²) Fonksiyonunu Belirleme 2x ≥ 3 ⇒ x ≥ 1.5 veya x^2 ≥ 6 ⇒ f(x²) = 2x²–1, aksi hâlde 3 Parçalı ifade: (x^2<6 ise 3, x^2≥6 ise 2x²–1)
2. Yer Değiştirme (u=x²) du = 2x dx ⇒ x dx = du/2 Alt sınırlar: u=4, üst sınırlar: u=9
3. Parçalı İntegral Aralıkları 4→6 (f(u)=3), 6→9 (f(u)=2u–1) Eşik değer: u=6
4. Alt İntegralleri Hesaplama ∫(4→6) 3 du = 6 ve ∫(6→9) (2u–1) du = 42 Toplam: 48
5. Son Değer (1/2)×(48) = 24 Nihai sonuç: 24

Sonuç ve Kısa Özet

Bu soruda, fonksiyonun tanımı “f(2x) = 4x –1 (x ≥ 3), vs. 3 (x<3)” biçiminde verildiğinde, f(x²)’nin argümanının nerede “≥6” (veya “<6”) olduğuna bakmak gerekir. Integre edilecek ifade de “f(x²)·x dx” olduğu için, en verimli yol “u = x²” ikamesini yapmaktır. Böylece integral iki basit parçaya ayrılır; birinci parçada sabit 3, ikinci parçada 2u–1 integralleri hesaplanır ve sonuç 24 bulunur.

Bu adımlar, sınırların u = x² doğrultusunda düzgünce dönüştürülmesi ile dikkatlice izlendiğinde, nihai sonucun 24 olduğu kesin ve tutarlı bir şekilde doğrulanır.

@Seher6