Sorunun Çözümü:
Verilen fonksiyon parçalara ayrılmış bir fonksiyondur ve verilen aralıkta integral alınması istenmektedir:
Bu tür soruda, fonksiyonu belirli aralıklar için ayrı ayrı değerlendirip toplarız. Fonksiyon şu şekilde verilmiştir:
- (f(x) = 4x + 1), (1 \leq x < 3)
- (f(x) = -3), (3 \leq x < 4)
- (f(x) = 2x - 5), (4 \leq x \leq 5)
Adım 1 – Her Aralık İçin İntegrali Alalım
1. ( \int_{1}^{3} (4x + 1)dx ):
(f(x) = 4x + 1) için integral:
[
\int (4x + 1)dx = \int 4x dx + \int 1 dx = 2x^2 + x + C
]
Şimdi sınırları uygula:
[
\bigg[ 2x^2 + x \bigg]_{1}^{3}
]
[
= \left(2(3)^2 + 3\right) - \left(2(1)^2 + 1\right)
]
[
= \left(18 + 3\right) - \left(2 + 1\right) = 21 - 3 = 18
]
2. ( \int_{3}^{4} (-3)dx ):
(-3)'ün integrali:
[
\int_{3}^{4} (-3)dx = -3 \cdot (4 - 3) = -3
]
3. ( \int_{4}^{5} (2x - 5)dx ):
(f(x) = 2x - 5) için integral:
[
\int (2x - 5)dx = \int 2x dx - \int 5 dx = x^2 - 5x + C
]
Şimdi sınırları uygula:
[
\bigg[ x^2 - 5x \bigg]_{4}^{5}
]
[
= \left((5)^2 - 5(5)\right) - \left((4)^2 - 5(4)\right)
]
[
= \left(25 - 25\right) - \left(16 - 20\right)
]
[
= 0 - (-4) = 4
]
Adım 2 – İntegralleri Toplayalım
Şimdi tüm parçaları toplayalım:
[
18 + (-3) + 4 = 19
]
Sonuç
İntegralin sonucu: 19
Doğru Cevap: A) 19
@username
f(x) = {4x + 1, −3, 2x − 5} fonksiyonunun 1’den 5’e integrali nedir?
Cevap:
Bu soruda verilen parçalı fonksiyon:
[
f(x) =
\begin{cases}
4x + 1, & 1 \le x < 3 \
-3, & 3 \le x < 4 \
2x - 5, & 4 \le x \le 5
\end{cases}
]
aralıklara ayrılarak ayrı ayrı integrallenip sonuçlar toplanır.
Adım Adım Çözüm
1) 1 ≤ x < 3 aralığında f(x) = 4x + 1
Bu aralıkta:
[
\int_{1}^{3} (4x + 1), dx
]
şeklinde integrali hesaplayalım.
- \int 4x \,dx = 2x^2
- \int 1 \,dx = x
Dolayısıyla:
[
\int_{1}^{3} (4x + 1),dx
= \left[2x^2 + x\right]_{1}^{3}
= \bigl(2 \cdot 3^2 + 3\bigr) - \bigl(2 \cdot 1^2 + 1\bigr)
= (18 + 3) - (2 + 1)
= 21 - 3
= 18.
]
2) 3 ≤ x < 4 aralığında f(x) = −3
Bu aralıkta fonksiyon sabit bir değer (−3) olduğundan:
[
\int_{3}^{4} -3 ,dx
= -3 \cdot (4 - 3)
= -3.
]
3) 4 ≤ x ≤ 5 aralığında f(x) = 2x − 5
Bu aralıkta:
[
\int_{4}^{5} (2x - 5),dx
= \int_{4}^{5} 2x ,dx ;-; \int_{4}^{5} 5 ,dx.
]
- \int 2x \,dx = x^2, bu nedenle [x^2]_{4}^{5} = (5^2) - (4^2) = 25 - 16 = 9.
- \int 5 \,dx = 5x, bu nedenle [5x]_{4}^{5} = 5 \cdot 5 - 5 \cdot 4 = 25 - 20 = 5.
Toplam:
[
\int_{4}^{5} (2x - 5),dx
= 9 - 5
= 4.
]
4) Tüm Aralıklar Toplamı
Şimdi 1’den 3’e, 3’ten 4’e ve 4’ten 5’e olan integralleri toplayalım:
[
\int_{1}^{5} f(x),dx
= \int_{1}^{3} (4x + 1),dx
- \int_{3}^{4} -3,dx
- \int_{4}^{5} (2x - 5),dx
= 18 + (-3) + 4
= 19.
]
Özet Tablo
| Aralık | Fonksiyon | Hesaplanan İntegral | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1 ≤ x < 3 | 4x + 1 | \int_{1}^{3} (4x+1)\,dx | 18 |
| 3 ≤ x < 4 | −3 | \int_{3}^{4} -3\,dx | -3 |
| 4 ≤ x ≤ 5 | 2x − 5 | \int_{4}^{5} (2x-5)\,dx | 4 |
| Toplam (1–5) | — | \int_{1}^{5} f(x)\,dx = 18-3+4 | 19 |
Sonuç ve Kısa Özet
Parçalı tanımlanmış fonksiyonun 1’den 5’e kadarki integrali 19 olarak bulunur.