Problem:
( f(x) ) fonksiyonu şu şekilde verilmiştir:
[
f(x) =
\begin{cases}
2x &, x < 0 \
-(1-x)^2 &, 0 \leq x \leq 1 \
x^2 - 1 &, x > 1
\end{cases}
]
Bu fonksiyon için
[
\int_{-2}^{2} |f(x)| , dx
]
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
I. ( \frac{8}{3} )
II. ( 1 )
III. ( 8 )
IV. ( \frac{1}{3} )
V. ( \frac{17}{3} )
Çözüm:
Fonksiyonun farklı aralıklarındaki davranışlarını inceleyelim.
-
Aralık: ( -2 \leq x < 0 )
Burada ( f(x) = 2x ).
[
|2x| = -2x \quad \text{çünkü} , x < 0
]
Bu durumda integral:
[
\int_{-2}^{0} |2x| , dx = \int_{-2}^{0} -2x , dx
]
[
= -2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{0} = -2 \left( 0 - \frac{(-2)^2}{2} \right) = -2 \left( 0 - 2 \right) = 4
] -
Aralık: ( 0 \leq x \leq 1 )
Burada ( f(x) = -(1-x)^2 ).
[
|-(1-x)^2| = (1-x)^2
]
Bu durumda integral:
[
\int_{0}^{1} (1-x)^2 , dx
]
Açılımı ve integrali:
[
\int_{0}^{1} (1 - 2x + x^2) , dx = \left[ x - x^2 + \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = (1 - 1 + \frac{1}{3}) - (0 - 0 + 0) = \frac{1}{3}
] -
Aralık: ( 1 < x \leq 2 )
Burada ( f(x) = x^2 - 1 ).
[
|x^2 - 1| \quad \text{çünkü} , (x^2 - 1) \geq 0 , \text{bu aralıkta}
]
Bu durumda integral:
[
\int_{1}^{2} (x^2 - 1) , dx
]
Açılımı ve integrali:
[
\int_{1}^{2} x^2 , dx - \int_{1}^{2} 1 , dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]{1}^{2} - \left[ x \right]{1}^{2} = \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) - (2 - 1) = \left( \frac{7}{3} \right) - 1 = \frac{7}{3} - \frac{3}{3} = \frac{4}{3}
]
Son olarak, bu üç aralıktaki integralleri toplarsak:
[
4 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = 4 + \frac{5}{3} = \frac{12}{3} + \frac{5}{3} = \frac{17}{3}
]
Bu nedenle, integralin değeri ( \mathbf{V. \frac{17}{3}} ) olur.