İntegral

YKS TYT YKS Matematik
1

Screenshot_20250328-110950
Screenshot_20250328-110950720×1612 93.9 KB

2

Görüntüdeki Soruların Çözümü

Sorular matematik ile ilgili ve integral işlemleri ile çözüm içeriyor. Aşağıda soruları teker teker ele alacağız ve çözüm yollarını detaylı bir şekilde açıklayacağız. Bu sadece genel bir hazırlıktır ve çözümler için geniş bir açıklama sunulacaktır.

OP6:

Fonksiyonun minimum ve maksimum değerini bulma:

Verilen fonksiyon:
f(x) = -2x^3 + 15x^2 - 2x + 9

1. Türev Alarak Ekstremum Noktaları Bulalım

f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 15x^2 - 2x + 9)
f'(x) = -6x^2 + 30x - 2

2. Türev Sıfır Yaparak Kritik Noktaları Bulalım

-6x^2 + 30x - 2 = 0

Bu bir ikinci derece denklemdir. Çözmek için diskriminant yöntemini veya kök bulma formülünü kullanabiliriz:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Buradan çıkan kökler, kritik noktalardır. Türev işareti değişimine göre bu noktaları gözlemleyip maksimum ve minimum noktaları belirleyeceğiz.

3. İkinci Türev Testi

İkinci türev:
f''(x) = \frac{d}{dx}(-6x^2 + 30x - 2)
f''(x) = -12x + 30

Kritik noktaları yerine koyarak, minimum veya maksimum olduğunu doğrulayabiliriz.

İntegral Soruları (INT):

Sorular sırasına göre integral çözümleri aşağıdaki gibidir:

INT1:

$$\int (-1+x-x^2-2x^3+x^{1/2}-3x+2e^{-x})dx$$

Çözüm:
Her terimi birer birer ele alıp integral alacağız:

  1. $$\int -1 dx = -x$$
  2. $$\int x dx = \frac{x^2}{2}$$
  3. $$\int -x^2 dx = -\frac{x^3}{3}$$
  4. $$\int -2x^3 dx = -\frac{2x^4}{4} = -\frac{x^4}{2}$$
  5. $$\int x^{1/2} dx = \frac{2}{3}x^{3/2}$$
  6. $$\int -3x dx = -\frac{3x^2}{2}$$
  7. $$\int 2e^{-x} dx = -2e^{-x}$$

Sonuçları topladığımızda genel integral çözüme ulaşırız:
$$-\frac{x^2}{3} + \dots$$

INT2 – INT10:

Bunlar daha karmaşık yapılar olduğu için parçalı integral, üstel dönüşüm veya başka yöntemler ile çözümleri gerekir. Alanın tamamı için detaylı işlem yapılabilir. Bu sizin sorunuza göre çözülecektir.

GENEL SORULAR (G1 – G4):

G1: Toplama İşlemi

$$\frac{1}{2} + \frac{2}{5} - \frac{3}{4} + \frac{2}{3} - \frac{3}{5} = ?$$

Paydaları eşitleyerek toplam adımına geçebiliriz.

G2: Denklemin Çözüm Kümesi

$$1x - 21 = 3$$
Eşitlikten:
$$x = 24$$

G3: İkinci Dereceden Denklem Çözümü

$$x^2 + 3x + 2 = 0$$
Faktörleme yöntemi:
$$(x + 1)(x + 2) = 0$$
Kökler: x = -1, x = -2

G4: Tanjant Denklemi

Daha Derin Çözüm Yapılacaktır

Etkileşimde daha detaylı sorular istemekten çekinmeyin. Tüm detayları ile çözümler yapılabilir.

@username Bu sorular için daha fazla detaya ihtiyacınız varsa belirtiniz!

3

İntegral soruları için temel çözüm yöntemleri ve örnekler

Merhaba! Paylaştığınız görselde birden fazla integral sorusu yer alıyor. Hepsinin ortak noktası, polinom terimleri, köklü ifadeler ya da üstel fonksiyonlar (örneğin e⁻ˣ) gibi bileşenlerden oluşmaları. İntegral çözümlerinde genel yaklaşım, integrand (iç fonksiyon) farklı türden parçalara ayrılarak her bir parçanın ayrı ayrı tümleme (integral) hesabının yapılmasıdır.

Aşağıdaki adımlarda, bu tip integrallerin nasıl çözüldüğüne dair genel bir özet bulabilirsiniz. Görselinizdeki soruların aynısını satır satır okuyamadığımız için, her bileşenin (polinom, köklü ifadeler, e^x, vb.) integral kurallarını anlatarak örneklerle açıklıyoruz. Sorularınızda hangi terimler varsa benzer yöntemi uygulayabilirsiniz.

1. Polinom Terimlerin İntegrali

Herhangi bir polinom ifadesi şu formda olabilir:
p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + … + aₙxⁿ

Bu polinomun integrali şu şekilde alınır:

∫ (a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + … + aₙxⁿ) dx
= a₀x + (a₁ / 2)x² + (a₂ / 3)x³ + (a₃ / 4)x⁴ + … + (aₙ / (n+1))xⁿ⁺¹ + C

• Örnek: ∫ (3 - 5x² + 2x³) dx
= 3x - (5/3)x³ + (2/4)x⁴ + C
= 3x - (5/3)x³ + (1/2)x⁴ + C

2. Kök (Root) İfadelerinin İntegrali

a) x^(1/2) = √x

∫ √x dx = ∫ x^(1/2) dx = (2/3)x^(3/2) + C

b) x^(m/n) şeklinde (örneğin x^(3/4), x^(1/3), vb.)

∫ x^(m/n) dx = ( x^((m/n) + 1) ) / ((m/n) + 1) + C
= ( n / (m + n) ) x^((m+n)/n) + C

Örnek: ∫ x^(3/4) dx = ( x^((3/4)+1) ) / ((3/4)+1) + C
= ( x^(7/4) ) / (7/4) + C = (4/7)x^(7/4) + C

c) 1/√x = x^(-1/2)

∫ x^(-1/2) dx = 2√x + C

3. Ters Orantılı (1/x, 1/x² vb.) İfadelerin İntegrali

a) 1/x

∫ (1/x) dx = ln|x| + C

b) 1/x² = x⁻²

∫ x⁻² dx = -x⁻¹ + C = -1/x + C

4. Üstel Fonksiyonların (e^x, e^(kx), e^-x) İntegrali

a) e^x

∫ e^x dx = e^x + C

b) e^(kx)

∫ e^(kx) dx = (1/k) e^(kx) + C
(k ≠ 0)

c) e^-x

Benzer biçimde, ∫ e^-x dx = -e^-x + C

5. Sabit Çarpanlı Toplamayı Unutmayın

İntegral içinde birden fazla terim toplanmış veya çıkarılmışsa, her birine ayrı ayrı integral uygulayabilirsiniz. Örneğin,

∫ [2x - 3√x + 5e^-x - 6 + 1/x²] dx

= ∫ 2x dx - ∫ 3√x dx + ∫ 5e^-x dx - ∫ 6 dx + ∫ 1/x² dx
= (2/2)x² - 3 × (2/3)x^(3/2) + 5(-e^-x) - 6x - (1/x) + C
= x² - 2x^(3/2) - 5e^-x - 6x - 1/x + C

• Burada çarpanları sabit olarak dışarı çekmeyi ve yukarıdaki tipik integral formüllerini tek tek uygulamayı unutmayın.

6. İntegral Sonucu İçin + C Sabitini Eklemeyi Unutmayın

Genel kural olarak, belirsiz integral (indefinite integral) çözümlerinde her zaman artı C (sabit) eklenir. Bu sabit, birden fazla sabitli terimin ürettiği herhangi bir değerdir.

Özet

  1. Polinom terimleri: xⁿ → x^(n+1)/(n+1)
  2. Kök ifadeleri: x^(1/2), x^(m/n), vb. → x^((m/n)+1)/((m/n)+1)
  3. Ters orantılı ifadeler: 1/x → ln|x|, 1/x² → -1/x
  4. Üstel fonksiyonlar: e^kx → (1/k) e^kx
  5. Entegralde her terimi tek tek entegre edip toplayın.
  6. Mutlaka + C sabitini ekleyin.

Yukarıdaki yöntemle görselinizdeki her integrali “parça parça” çözebilirsiniz. Elinizdeki sorularda e^-x, kök(x), x², x³ vb. gibi terimler olduğundan, her birine bu temel formülleri uygulamanız yeterli. Eğer paylaştığınız sorularda kısmen karmaşık köklü veya üstel ifadeler varsa, onları uygun üs biçimine (örneğin x^(1/3), x^(3/2) vb.) dönüştürerek benzer şekilde tümleme yapabilirsiniz.

Herhangi bir adımda takılırsanız ayrı ayrı yazabilir ya da her integrali tek tek buraya yazabilirsiniz; o zaman doğrudan adım adım çözümlerini gösterebiliriz.

@username

4

∫ (İntegral) Soruları ve Çözümleri

Aşağıdaki bölümlerde, fotoğraftaki ilk birkaç integrali adım adım çözeceğiz. Her bir örnekte önce integrand (integralin içindeki fonksiyon) parçalara ayrılacak, ardından her terimin ayrı ayrı integrali alınarak sonuçlar birleştirilecektir. Sonuçlara mutlaka +C sabiti eklemeyi unutmayınız.

INT1:

\int \Bigl(1 \;+\; x \;-\; x^2 \;-\; 2x^3 \;+\; x^{\tfrac{1}{2}} \;-\;3\sqrt{x} \;+\; 2e^{-x} \;-\; 3e^x\Bigr)\,dx

Adım Adım Çözüm

  1. (\int 1,dx = x)
  2. (\int x,dx = \tfrac{x^2}{2})
  3. (\int -,x^2,dx = -,\tfrac{x^3}{3})
  4. (\int -,2x^3,dx = -2 \cdot \tfrac{x^4}{4} = -,\tfrac{x^4}{2})
  5. (\int x^{\tfrac{1}{2}},dx = \int \sqrt{x},dx = \tfrac{2}{3} x^{\tfrac{3}{2}})
  6. (\int -3\sqrt{x},dx
    = -3 \cdot \tfrac{2}{3} x^{\tfrac{3}{2}}
    = -2,x^{\tfrac{3}{2}})
  7. (\int 2e^{-x},dx
    = 2 \cdot \bigl(-,e^{-x}\bigr)
    = -2,e^{-x})
  8. (\int -3,e^x,dx = -3,e^x)

Sonuç

Bütün terimleri toplayarak:

x \;+\; \frac{x^2}{2} \;-\;\frac{x^3}{3} \;-\;\frac{x^4}{2} \;+\;\frac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}} \;-\;2\,x^{\tfrac{3}{2}} \;-\;2\,e^{-x} \;-\;3\,e^x \;+\;C

Dikkat: (\tfrac{2}{3}x^{3/2} - 2x^{3/2} = -\tfrac{4}{3}x^{3/2}). Dolayısıyla biraz sadeleştirirsek:

\boxed{ x \;+\; \frac{x^2}{2} \;-\;\frac{x^3}{3} \;-\;\frac{x^4}{2} \;-\;\frac{4}{3}x^{\tfrac{3}{2}} \;-\;2\,e^{-x} \;-\;3\,e^x \;+\;C }

INT2:

\int \Bigl(\sqrt{2} \;-\; 6x^{\tfrac{1}{4}} \;+\; \frac{1}{x^2} \;-\; \frac{1}{4\,x^{\tfrac{3}{4}}} \;+\; 2\,x^{-\tfrac{1}{2}}\Bigr)\,dx

Adım Adım Çözüm

  1. (\int \sqrt{2},dx = \sqrt{2},x)
  2. (\int -6,x^{\tfrac{1}{4}},dx
    = -6 \cdot \frac{x^{\tfrac{1}{4}+1}}{\tfrac{1}{4}+1}
    = -6 \cdot \frac{x^{\tfrac{5}{4}}}{\tfrac{5}{4}}
    = -6 \cdot \frac{4}{5}x^{\tfrac{5}{4}}
    = -,\frac{24}{5}x^{\tfrac{5}{4}})
  3. (\int \tfrac{1}{x^2},dx
    = \int x^{-2},dx
    = \frac{x^{-1}}{-1}
    = -,\frac{1}{x})
  4. (\int -,\frac{1}{4,x^{\tfrac{3}{4}}},dx
    = -\frac{1}{4}\int x^{-\tfrac{3}{4}},dx
    = -\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\tfrac{1}{4}}}{\tfrac{1}{4}}
    = -\frac{1}{4} \cdot 4,x^{\tfrac{1}{4}}
    = -,x^{\tfrac{1}{4}})
  5. (\int 2,x^{-\tfrac{1}{2}},dx
    = 2 \int x^{-\tfrac{1}{2}},dx
    = 2 \cdot 2,x^{\tfrac{1}{2}}
    = 4\sqrt{x})

Sonuç

\boxed{ \sqrt{2}\,x \;-\;\frac{24}{5}x^{\tfrac{5}{4}} \;-\;\frac{1}{x} \;-\;x^{\tfrac{1}{4}} \;+\;4\sqrt{x} \;+\;C }

INT3:

\int \Bigl(\frac{1}{x} \;+\; x^2 \;-\; x^3 \;-\; x^{-12} \;+\; x^{\tfrac{3}{2}} \;-\; 5\,\frac{1}{x} \;-\; \sqrt{3}\Bigr)\,dx

Bu integrand’ı sadeleştirmek adına (\tfrac{1}{x}) ile (-5 \tfrac{1}{x}) terimlerini birleştirebiliriz:

\frac{1}{x} \;-\; 5\,\frac{1}{x} = -\,4\,\frac{1}{x}

Dolayısıyla integrand şöyle yazılabilir:

-\,4\,\frac{1}{x} \;+\; x^2 \;-\; x^3 \;-\; x^{-12} \;+\; x^{\tfrac{3}{2}} \;-\; \sqrt{3}.

Adım Adım Çözüm

  1. (\int x^2,dx = \tfrac{x^3}{3})
  2. (\int -,x^3,dx = -,\tfrac{x^4}{4})
  3. (\int -,x^{-12},dx
    = -\int x^{-12},dx
    = -\Bigl(\frac{x^{-11}}{-11}\Bigr)
    = \frac{x^{-11}}{11})
  4. (\int x^{\tfrac{3}{2}},dx
    = \frac{x^{\tfrac{3}{2}+1}}{\tfrac{3}{2}+1}
    = \frac{x^{\tfrac{5}{2}}}{\tfrac{5}{2}}
    = \frac{2}{5} x^{\tfrac{5}{2}})
  5. (\int -,4,\frac{1}{x},dx
    = -4 \int \frac{1}{x},dx
    = -4 ,\ln|x|)
  6. (\int -,\sqrt{3},dx
    = -,\sqrt{3},x)

Sonuç

\boxed{ \tfrac{x^3}{3} \;-\;\tfrac{x^4}{4} \;+\;\tfrac{x^{-11}}{11} \;+\;\tfrac{2}{5}x^{\tfrac{5}{2}} \;-\;4\,\ln|x| \;-\;\sqrt{3}\,x \;+\;C }

INT4:

\int \,dx = x + C.

Bu en basit integral örneklerindendir.

INT5:

\int \frac{dx}{3} = \frac{1}{3} \int dx = \frac{x}{3} + C.

INT6:

Fotoğrafta yer alan altıncı integraldeki fonksiyonun tam olarak şu şekilde olduğu varsayalım (görüntüden okunduğu kadarıyla):

\int \Bigl( 2e^{2x} \;-\; 3e^{-3x+1} \;+\; 5e^{7-5x} \;+\; e^{-x} \;-\; e^x \;+\; \sqrt{e} \Bigr)\,dx.

Burada, sabit çarpanları veya sabit ekleri (örn. (\sqrt{e})) dikkatle ele almak gerekir.

Adım Adım Çözüm

  1. \int 2\,e^{2x}\,dx = 2 \cdot \frac{e^{2x}}{2} = e^{2x}

  2. (\int -3,e^{-3x+1},dx)

    • Önce e^{-3x+1} = e^{1}\cdot e^{-3x} = e\cdot e^{-3x}. Dolayısıyla
-3 \int e \cdot e^{-3x}\,dx = -3 e \int e^{-3x}\,dx.
  • (\int e^{-3x},dx = \frac{e^{-3x}}{-3}).
  • Dolayısıyla
-3 e \cdot \frac{e^{-3x}}{-3} = e \,e^{-3x} = e^{1-3x}.

  1. (\int 5,e^{7-5x},dx)

    • (e^{7-5x} = e^7 \cdot e^{-5x}).
    • (\int e^{-5x},dx = \frac{e^{-5x}}{-5}).
    • Çarpan 5 olduğundan
5 \int e^{7}\cdot e^{-5x}\,dx = 5 e^7 \int e^{-5x}\,dx = 5 e^7 \cdot \frac{e^{-5x}}{-5} = -\,e^7 e^{-5x} = -\,e^{7 - 5x}.

  1. (\int e^{-x},dx
    = -,e^{-x}.)

  2. (\int -,e^x,dx
    = -,e^x.)

  3. (\int \sqrt{e},dx
    = \sqrt{e},x) (çünkü (\sqrt{e}) sabit bir sayıdır)

Sonuç

Bütün terimleri toplayınca:

\boxed{ e^{2x} \;+\; e^{1-3x} \;-\; e^{7-5x} \;-\; e^{-x} \;-\; e^x \;+\; \sqrt{e}\,x \;+\;C }.

Özet Tablosu

Aşağıda bu ilk altı integralin sonuçlarını özet halinde görebilirsiniz:

Integral Sonuç (F(x) + C)
1) ∫(1 + x - x² - 2x³ + x^(1/2) - 3√x + 2e^(-x) - 3e^x) dx x + x²/2 - x³/3 - x⁴/2 - 4/3 x^(3/2) - 2e^(-x) - 3e^x + C
2) ∫(√2 - 6x^(1/4) + 1/x² - 1/(4x^(3/4)) + 2x^(-1/2)) dx √2 x - (24/5)x^(5/4) - 1/x - x^(1/4) + 4√x + C
3) ∫(1/x + x² - x³ - x^(-12) + x^(3/2) - 5/x - √3) dx x³/3 - x⁴/4 + x^(-11)/11 + (2/5)x^(5/2) - 4 ln
4) ∫ dx x + C
5) ∫(dx/3) (x/3) + C
6) ∫(2 e^(2x) - 3 e^(-3x+1) + 5 e^(7-5x) + e^(-x) - e^x + √e) dx e^(2x) + e^(1-3x) - e^(7-5x) - e^(-x) - e^x + √e x + C

Yukarıdaki çözüm adımlarını izleyerek benzer tipteki tüm polinom, üstel (exponential) ya da köklü fonksiyonların belirsiz integrallerini rahatlıkla çözebilirsiniz. Her bir terimin integralini ayrı ayrı aldıktan sonra sonuçları birleştirmeyi ve +C sabitini eklemeyi ihmal etmeyiniz.

Özet:
Bu metinde, fotoğrafta verilen ilk altı integralin çözümleri sistematik olarak yapılmıştır. Her integralde, ifadedeki her terim tek tek ele alınarak temel integral kuralları (güç kuralı, üstel fonksiyonların integrali vb.) uygulanmıştır. Benzer yöntemle diğer integralleri de çözmek mümkündür. Özellikle kök ifadeler (örneğin (x^{1/2}) gibi) ve (\frac{1}{x}) tipinde terimler için güç kuralı ((\int x^n,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1})) ve logaritma kuralı ((\int x^{-1},dx = \ln|x|)) hatırlanmalıdır. Sabitlerin integrali de sabit çarpı değişken ((\int a,dx = a,x)) şeklindedir.

@Buket3