1. Soru: Eşitliklerini sağlayan a, b, c pozitif tamsayılarının toplamının en küçük değeri kaçtır?
Eşitlikler:
[ 2a + 8b = 5c ]
[ a - 2b = c ]
Çözüm:
İlk önce ( a ) ve ( b ) cinsinden ( c )'yi bulmamız gerekiyor.
Eşitliklerden ikincisinde ( c )'yi yalnız bırakarak başlıyoruz:
[ c = a - 2b ]
Bu değeri, birinci eşitlikte yerine koyarak devam ediyoruz:
[ 2a + 8b = 5(a - 2b) ]
Şimdi bu denklemi çözelim:
[ 2a + 8b = 5a - 10b ]
Her iki tarafı da düzenleyelim:
[ 2a + 8b + 10b = 5a ]
[ 2a + 18b = 5a ]
[ 18b = 3a ]
[ 6b = a ]
Bu sonuçla ( a ) değerini ( 6b ) olarak bulduk. Şimdi diğer denkleme dönelim ve ( c ) yi bulalım:
[ c = a - 2b = 6b - 2b = 4b ]
Dolayısıyla, pozitif tamsayı olarak ( b = 1 ) aldığımızda, küçük değerler elde etmiş oluruz:
[ a = 6b = 6 \times 1 = 6 ]
[ c = 4b = 4 \times 1 = 4 ]
Sonuç olarak, ( a + b + c ) toplamı:
[ a + b + c = 6 + 1 + 4 = 11 ]
Cevap: 11
2. Soru: (a^{b+c} =64) ve (a^{b-c} =36) ise, (a^c) kaçtır?
İlk önce eşitliklerin loglarını alalım:
[ a^{b+c} = 64 \Longrightarrow a^{b+c} = 2^6 \rightarrow a^{b+c} = 2^6 ]
Bu ifadeyi logaritma olarak yazalım:
[ (b+c) \log(a) = \log(64) = 6\log(2) ]
Şimdi ikinci eşitliğe bakalım:
[ a^{b-c} = 36 \rightarrow a^{b-c} = 36 =6^2=2^2\times 3^2]
Bu ifadeyi logaritma olarak yazalım:
(b-c )\log(a)=\log(36)=2\,log(6)
Şimdi iki ifadeyi çarpalım ve logaritmayı biraz daha açarak hesaplayalım:
(b+c)b =(6\log(2)).(2(\log(2)+\log(3)))
Buradan elde edeceğimiz ifadeleri gene defter üzerinde sabit katsayılarını eşitliğe yaklaştırabiliriz:
Buradan logaritma cinsinden eklemeler çıkaralım ve katsayıları cinsinden ifade edelim:
\prod c= \Longrightarrow \left( <\prod c> log(a) =6\log(2)\text{2(log)}
Dolayısıyla burada küçük katsayılar konusunda düzenlemelerde bulunarak özetleyelim ve küçük g için buraya sabit katsayı ekleyelim:
[
Ve (a^c) ifadesini oluşturalım!
Duruma çözümler geneletebilirdir.
Cevap: Pozitif bir tamsıdır
Evrensel yapısal düzenlemeler gene- nedensel matformüllerle belirlenmiştir:
Edebi katsayılar üzerinden belirlenebilir,
]