Soru:
Yan taraftaki şekilde bir kenar uzunluğu (x) cm olan özdeş dört karenin birer köşesi, bir kenar uzunluğu (y) cm olan karenin köşeleri ile çakışıktır. (|AB| = 7) cm, (x \cdot y = \frac{3}{2}) olduğuna göre şeklin alanının kaç cm² olduğunu bulunuz.
Çözüm:
-
Verilenleri Toparlayalım:
- (|AB| = 7) cm
- (x \cdot y = \frac{3}{2})
-
Dik Üçgen Teoremi (Pisagor Teoremi) Kullanımı:
(|AB|) uzunuğunu bulmak için, karenin köşelerinin oluşturduğu dik üçgenin hatta dört dik üçgenin hipotenüsleri üzerinde tanımını yapabiliriz. (AB) hattı kare köşe noktalarını birleştirdiği için karelerin köşegen uzunluğu karakterine sahiptir.
[
|AB| = \sqrt{(x+y)^2 + (y-x)^2} = 7
] -
Denklemi Çözün:
[
\sqrt{2x^2 + 2y^2} = 7
][
2x^2 + 2y^2 = 49
][
x^2 + y^2 = \frac{49}{2}
] -
Verleti Kullanarak İkinci Denklem:
[
x \cdot y = \frac{3}{2}
] -
Sistem Denklemlerini çözün:
Eğer (x+y) ve (x-y) ile çalışarak ifade edilmeye çalışılırsa, ( (x+y)^2 + (x-y)^2 = 2x^2 + 2y^2 )
ve (mümkünse) simetrik ifade kurmaya yönelik olan (x + y) ve (x - y) kare formüllerine geçişi düşünün.Öncelikle alternatif yollar: (x+y)^2 = (x+y)(x-y)+4(xy) çözümü
[
(x+y)^2 = \frac{49}{2} - 4 \times \frac{3}{2} = \frac{49}{2} - 6 = 19
][
x+y ≈ \sqrt{19}
] -
Alan Hesaplaması:
Şeklin alanı toplamı: (4) adet x kenar karelerinin ve (y) kenarlı büyük karenin alan denklemi üzerinden yazılır.
[
4x^2 + y^2 = \text{alan}
]
ve bu ( ((x+y)^2)-(4xy)=(\text{Net Alan}) ) formülünde türev şekilde çalışılabilir.
- Çözüm Bulma:
[
4x^2 + y^2 \approx \text{Belirtilen şeklin alanı}
]
Gerekli ispat çalışması iki formül birleşimi uygun görülen denklem,
[
2x^2+2y^2-(4xy)=7
]
örnekleriyle uygun bir kattaki farkı çözümleyerek,
alan, net olarak [\approx 19]
Sonuç:
Belirtilen şeklin bu yollarla hesaplanan net alanı [\approx 19\text{cm}^2] olduğu bulunmuştur.