Çözüm:
1. Üstteki Soru (Üçgen ile İlgili)
a) Hangi üçgenler birbirine eş?
Eş üçgenler: Üçgende verilen bilgilere göre, \triangle DEF ile \triangle EDC birbirine eştir.
Sebep:
- Açı-Açı-Açı (AAA) benzerlik kriteri uygulanır.
- DFE açısı verilmiştir ve \triangle DEF, $\triangle EDC$’de eş açılar içerir.
- Aynı taban üzerindeki dik açılar ve benzerlik oranı birbiriyle aynı olduğu gösterilebilir.
- Verilen diğer açı ölçülerine göre eşlik sağlanır.
b) DFE açısının ölçüsü kaç derece?
\triangle DEF içinde:
- En büyük açı $40^\circ$’dır.
- \triangle DEF bir üçgendir ve iç açılar toplamı 180^\circ olmalıdır.
$$ DF + EF + DED = 140-La=$
Devamı (DFE Açısının Ölçümü)
\triangle DEF içinde:
- \triangle DF bir köşe ***TOPL PLAB 10095
(1) Yukarıdaki Üçgenle İlgili Sorular
Soru (a): Hangi üçgenler birbirine eş olup, bu eşliğin nedeni nedir?
Yandaki şekilde (M tepe noktalı, alt köşeleri B ve C olan büyük üçgende), D, E ve F noktaları sırasıyla hedef alınan kenarların orta noktaları veya paralel doğrularla oluşturulmuş köşeler olarak verildiğinde genellikle şu tip bir sonuç elde edilir:
- Üçgen MDB, Üçgen MDC, Üçgen FDB, Üçgen FDC vb. küçük üçgenler, ortak kenar/paralel kenar nedenleriyle “SSS” (Side-Side-Side) ya da “SAS” (Side-Angle-Side) gibi kurallarla birbirine eş olabilir.
- Ayrıca, bazı durumlarda (D, E, F orta noktalar ise) büyük üçgenin içinde oluşan küçük üçgenlerin kenar uzunlukları eşitlik göstereceğinden dört küçük üçgen de birbirine eş olabilir.
Burada hangi üçgenlerin eş olduğu tam olarak, soruda geçen “verilen bilgilere göre” (örneğin, “D ve F, MB ve MC’nin orta noktalarıdır” veya “DE ∥ BC” vb.) belirtilen özel koşullara dayanır. Genelde:
- Orta Nokta Teoremi kullanılıyorsa, birbirine paralel ve eşit uzunluklu kenarlar elde edilir.
- SAS veya SSS gibi eşlik kriterlerini sağlayan kenar ve açı ilişkileri verilir.
Örneğin, “D ve F, MB ve MC’nin orta noktaları, E ise BC’nin orta noktasıysa” şu tip ifade geçerli olur:
- Üçgen MDF ve Üçgen EDB
- Üçgen MDF ve Üçgen EFC
gibi alt üçgenler eşlik gösterebilir (tam konumlara göre değişir).
Soru (b): DFE açısının ölçüsü kaç derecedir?
Şekilde M açısının 40° olduğu belirtilmiştir. Ortalarla veya paralelliklerle ilgili tipik bir sonuç, DFE açısının da 40° çıkmasıdır. Bunun nedeni, DFE üçgeninin büyük üçgenle (örneğin MBC) benzer veya eş parçalara sahip olması ve ilgili açıların korunmasıdır.
Yine “verilen bilgilere” (örneğin “DE ∥ MC” vb. paralellik koşulları) bağlı olarak iç-teğet açılar veya benzerlik gerekçeleriyle, içteki açının orijinal üçgenle aynı büyüklükte olduğu ispatlanabilir. En yaygın durum, DFE = 40° şeklindedir.
Aşağıdaki tabloda kabaca özetlenmiştir:
| Üçgenler | Eşlik/Benzerlik Nedeni | Tahmini Açı Sonucu |
|---|---|---|
| MDB, MDC, FDB vb. | Kenar orta noktalarına dayalı “SSS”/“SAS” | Eş/Benzer üçgenler |
| DFE, MBC | Paralel kenarların oluşturduğu benzerlik | ∠DFE = 40° (genellikle) |
(2) Dolap Üzerindeki Eşkenar Üçgenler ve Mesafe Hesabı
Şekildeki dolap kapağının yüksekliği 180 cm’dir. En üstteki eşkenar üçgenin yüksekliği 54 cm olarak verilmiştir ve üçgenler 3/2 benzerlik oranına sahiptir. Ayrıca dolabın altından üstüne kadar:
- En alttaki üçgen ile dolabın tabanı arasındaki mesafe,
- Ardışık her iki üçgen arasındaki mesafe,
- En üstteki üçgen ile dolabın tavanı arasındaki mesafe
birbirine eşit olarak gösterilmiştir.
Dolapta toplam 3 üçgen olduğundan, arada 4 eşit mesafe bulunur:
- Taban ile en alttaki üçgen arasında;
- Alttaki üçgen ile ortadaki üçgen arasında;
- Ortadaki üçgen ile üstteki üçgen arasında;
- Üstteki üçgen ile dolabın tavanı arasında.
Üçgenlerin yükseklikleri ise benzerlik oranına göre sırasıyla:
- Üst üçgen (T1): 54 cm
- Orta üçgen (T2): T2 = (2/3) × 54 = 36 cm
- Alt üçgen (T3): T3 = (2/3) × 36 = 24 cm
Bu üç yüksekliğin toplamı:
54 + 36 + 24 = 114 cm
Dolabın toplam yüksekliği 180 cm olduğu için, geriye kalan kısım 4 eşit mesafeye bölünür:
Toplam kalan yükseklik = 180 − 114 = 66 cm
Her bir eş mesafe = 66 ÷ 4 = 16,5 cm
Dolayısıyla ardışık iki üçgen arasındaki en kısa mesafe 16,5 cm’dir.
Aşağıdaki tabloda bu hesap özetlenmiştir:
| Bileşen | Değer/Hesap |
|---|---|
| 1. Üst Üçgen Yüksekliği (T1) | 54 cm |
| 2. Orta Üçgen Yüksekliği (T2) | (2/3) × 54 = 36 cm |
| 3. Alt Üçgen Yüksekliği (T3) | (2/3) × 36 = 24 cm |
| Toplam Üçgen Yükseklikleri | 54 + 36 + 24 = 114 cm |
| Dolap Toplam Yüksekliği | 180 cm |
| Kalan Mesafe (Toplam) | 180 − 114 = 66 cm |
| Eşit Pay Adedi | 4 |
| Bir Payın (Mesafenin) Uzunluğu | 66 ÷ 4 = 16,5 cm |
| Sonuç (Ardışık İki Üçgen Arası) | 16,5 cm |
Kısa Özet
- Büyük üçgendeki (MBC) noktalar D, E, F belirli orta noktalar veya paralellik koşullarıyla alınmışsa, iç kısımdaki küçük üçgenler birbirine eş veya benzer olabilir. Genellikle DFE açısı 40° çıkar.
- Dolaptaki üç eşkenar üçgenin yükseklikleri 54 cm, 36 cm ve 24 cm olarak (3/2 oranıyla) sıralanır. Dört eşit mesafe toplam 66 cm olduğundan, her bir aralık 16,5 cm’dir.
Kaynaklar:
- MEB Ortaokul/Lise Geometri Müfredatı Örnek Uygulamaları
- Genel Üçgen Benzerliği ve Orta Nokta Teoremi Konu Anlatımları