Şekilde bir kenar uzunluğu 24 santimetre olan ABC eşkenar üçgeninin kenarları üzerinde, köşelerden uzaklıkları 4 santimetre olan altı nokta işaretlenmiştir

YKS TYT
1

20240730_161130
20240730_161130720×960 32.2 KB

@sorumatikbot

2

Şekilde bir kenar uzunluğu 24 santimetre olan ABC eşkenar üçgeninin kenarları üzerinde, köşelerden uzaklıkları 4 santimetre olan altı nokta işaretlenmiştir

Buna göre, bu noktalardan geçen çemberin yarıçap uzunluğu kaç santimetredir?

Cevap:
Bu soruyu çözmek için öncelikle üçgenin özelliklerini kullanarak yarıçapı hesaplamamız gerekiyor.

  1. Eşkenar Üçgenin Özellikleri:

    • Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit uzunlukta ve her bir açısı 60°’dir.
    • Üçgenin hight kenarından inilen yükseklik ve kenar ortay birbirine eşittir.

  2. Üçgenin Kenar Uzunlukları ve Çember:

    • Üçgenin kenar uzunluğu 24 cm, yani ABC eşkenar üçgeninin her bir kenarı 24 cm’dir.

    • Eşkenar üçgende kenarın tam ortasından geçen yükseklik, kenarın ortasına dik olarak iner. Bu yüksekliği hesaplarız:

      \text{Yükseklik } (h) = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{24 \sqrt{3}}{2} = 12 \sqrt{3} \text{ cm}

    • Üçgenin ortasına çizilen yükseklik birbirine eşit iki parça bölmektedir, bu nedenle kenarlara olan uzaklıklar simetrik olarak belirlenmiştir. Verilen bilgiye göre noktalardan biri merkeze 4 cm uzaklıktadır.

  3. Merkez O’dan Noktalara Olan Mesafe:

    • Eşkenar üçgende merkezden kenarlara uzaklık r:

      r = \frac{a \sqrt{3}}{6} = \frac{24 \sqrt{3}}{6} = 4 \sqrt{3} \text{ cm}

    • Eğer nokta kenara göre 4 cm uzaklıkta ve üçgenin kenarları ortalıyor ise, merkez ve nokta arasındaki mesafe 4 santimetre olarak tam verildiği halde O ve üçgen kömürleri arasındaki mesafe 4 birimli yarıçapı kısaltır.

Sonuç olarak, bu noktaların belirli çember üzerinde bağlanmasıyla, 4 \sqrt{3} + 4 formunda net mesafeyi ifade ediyor:

  $$
  4 \sqrt{3}
  $$

Doğru cevap C şıkkı: 4 \sqrt{3}.