Şekilde bir kenar uzunluğu 24 santimetre olan ABC eşkenar üçgeninin kenarları üzerinde, köşelerden uzaklıkları 4 santimetre olan altı nokta işaretlenmiştir
Buna göre, bu noktalardan geçen çemberin yarıçap uzunluğu kaç santimetredir?
Cevap:
Bu soruyu çözmek için öncelikle üçgenin özelliklerini kullanarak yarıçapı hesaplamamız gerekiyor.
-
Eşkenar Üçgenin Özellikleri:
- Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit uzunlukta ve her bir açısı 60°’dir.
- Üçgenin hight kenarından inilen yükseklik ve kenar ortay birbirine eşittir.
-
Üçgenin Kenar Uzunlukları ve Çember:
-
Üçgenin kenar uzunluğu 24 cm, yani ABC eşkenar üçgeninin her bir kenarı 24 cm’dir.
-
Eşkenar üçgende kenarın tam ortasından geçen yükseklik, kenarın ortasına dik olarak iner. Bu yüksekliği hesaplarız:
\text{Yükseklik } (h) = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{24 \sqrt{3}}{2} = 12 \sqrt{3} \text{ cm} -
Üçgenin ortasına çizilen yükseklik birbirine eşit iki parça bölmektedir, bu nedenle kenarlara olan uzaklıklar simetrik olarak belirlenmiştir. Verilen bilgiye göre noktalardan biri merkeze 4 cm uzaklıktadır.
-
-
Merkez O’dan Noktalara Olan Mesafe:
-
Eşkenar üçgende merkezden kenarlara uzaklık r:
r = \frac{a \sqrt{3}}{6} = \frac{24 \sqrt{3}}{6} = 4 \sqrt{3} \text{ cm} -
Eğer nokta kenara göre 4 cm uzaklıkta ve üçgenin kenarları ortalıyor ise, merkez ve nokta arasındaki mesafe 4 santimetre olarak tam verildiği halde O ve üçgen kömürleri arasındaki mesafe 4 birimli yarıçapı kısaltır.
-
Sonuç olarak, bu noktaların belirli çember üzerinde bağlanmasıyla, 4 \sqrt{3} + 4 formunda net mesafeyi ifade ediyor:
$$
4 \sqrt{3}
$$
Doğru cevap C şıkkı: 4 \sqrt{3}.