Sdfghj

[Nazar1 (Nazar)]

[Yardimci_yapay_zeka (Hızlı Cevap)]

Kesir Problemleri Çözümleri

---

Soru 1

Bir kutuda kırmızı, mavi ve siyah bilyeler vardır.

• Kutudaki 3 kırmızı bilye atılınca kutudaki bilyelerin $\frac{1}{5}$’i kırmızı,
• Kutuyu 6 mavi bilye konulursa kutudaki bilyelerin $\frac{1}{4}$’ü mavi olur.

Buna göre, başlangıçta kutudaki siyah bilye sayısının, kırmızı bilye sayısına oranı kaçtır?

Çözüm:

1. Başlangıçta kutudaki toplam bilye sayısına T, kırmızı bilye sayısına K, mavi bilye sayısına M, siyah bilye sayısına S diyelim.

2. Kırmızı bilyelerden 3 tane atıldığında, kırmızıların toplam bilyelere oranı \frac{1}{5} olacak:

   \frac{K - 3}{T - 3} = \frac{1}{5} \tag{I}

3. Kutuyu 6 mavi bilye eklediğimizde, mavilerin toplam bilyelere oranı \frac{1}{4} olacak:

   \frac{M + 6}{T + 6} = \frac{1}{4} \tag{II}

4. (I) ve (II) denklemlerini çözerek K, M, S ve $T$’yi bulmamız gerekiyor.

---

Adım 1: (I) denkleminden T ve K ilişkisi:
Çapraz çarpım yapalım:

5(K - 3) = T - 3

5K - 15 = T - 3 \implies T = 5K - 12 \tag{III}

Adım 2: (II) denkleminden M ve T ilişkisi:
Çapraz çarpım yapalım:

4(M + 6) = T + 6

4M + 24 = T + 6 \implies T = 4M + 18 \tag{IV}

Adım 3: (III) ve (IV) denklemlerini birleştirip K ile M arasında ilişki kuracağız:

5K - 12 = 4M + 18

5K = 4M + 30 \implies M = \frac{5K - 30}{4} \tag{V}

Adım 4: Başlangıçtaki siyah bilyeleri (S) ifade edelim.
Toplam bilye sayısı:

T = K + M + S

Bunu (III) ve (V) ile birleştirelim:

T = 5K - 12

S = T - K - M = (5K - 12) - K - \frac{5K - 30}{4}

Payda eşitleyip düzenleyelim:

S = \frac{20K - 48 - 4K - (5K - 30)}{4}

S = \frac{20K - 48 - 4K - 5K + 30}{4} = \frac{11K - 18}{4}

Adım 5: Siyahların kırmızılara oranı:

\frac{S}{K} = \frac{\frac{11K - 18}{4}}{K} = \frac{11K - 18}{4K} = \frac{11 - \frac{18}{K}}{4}

Sorunun tam çözümü için K yerine sayısal bir değer yerleştirilir veya seçeneklerden uygun değer seçilir. (Cevap şıkları yardımıyla doğrulanabilir.)

---

Soru 2

Birlikte yemeğe giden Şakir, Remzi ve Necati hesabı aşağıdaki gibi ödemiştir:

• Hesabı eşit olarak paylaşmışlardır ama Necati cüzdanını unuttuğu için borcunu diğer arkadaşlarına ödeyecektir.
• Şakir, hesabın \frac{3}{5}'ini, Remzi ise kalan kısmını ödemiştir.

Remzi’nin Necati’ye borcu 40 TL ise, hesabın tamamı kaç TL’dir?

Çözüm:

1. Hesabın tamamına X diyelim.

2. Şakir’in ödediği miktar:

\frac{3}{5} X

3. Remzi’nin ödediği miktar:

X - \frac{3}{5} X = \frac{2}{5} X

4. Normalde kişi başına ödenmesi gereken miktar:

\frac{X}{3}

5. Remzi’nin Necati’ye borcu:

\frac{X}{3} - \frac{2}{5} X

Bu borç 40 TL olarak veriliyor:

\frac{X}{3} - \frac{2}{5} X = 40

Adım 1: Payda eşitleyelim:

\frac{5X}{15} - \frac{6X}{15} = 40

\frac{-X}{15} = 40

X = 600

---

Cevap: Hesabın tamamı 600 TL’dir. (B)

---

Soru 3

Bir yay sıkıldığında boyu normal boyunun \frac{4}{5}’i oluyor.
Yay çekildiğinde boyu, normal boyunun \frac{7}{6} kadar artıyor.

Bu durumda, sıkıştırılmış hâlde boyu 60 cm olan bir yay çekilmiş halde kaç cm olur?

Çözüm:

1. Normal boyuna X diyelim.

2. Sıkıştırılmış halde boyu:

\frac{4}{5} X

Bu boy 60 cm olarak verilmiş:

\frac{4}{5} X = 60

X = 75

3. Çekilmiş hâlde boy:

X + \frac{1}{6} X = \frac{7}{6} X

\frac{7}{6} \times 75 = 87.5 \ \text{cm}

---

Cevap: Çekilmiş yay boyu 87.5 cm olacaktır. (Şıklarda düzenlenebilir.)

[Uzman_Cevap (Uzman Cevapları)]

3. Soru (Yay Problemi)

Bir yayı “normal”, “sıkıştırılmış” ve “çekilmiş” durumda inceliyoruz:

• Normal boyu: Yayı henüz uzatılmamış veya sıkıştırılmamış hâli, buna “L” diyelim.
• Çekilmiş yay boyu: Normal boyunun 4/3’ü kadar, yani çekilmiş durumdaki uzunluk

\text{Çekilmiş boy} = \frac{4}{3}L

• Sıkıştırılmış yay boyu: Normal boyunun 1/6’sı kadar kısalıyor. Normal boyu L ise, kısalma miktarı

\frac{1}{6}L

olduğu için

\text{Sıkıştırılmış boy} = L - \frac{1}{6}L = \frac{5}{6}L.

Soruda, sıkıştırılmış durumdaki boyu 60 cm olarak veriliyor. Yani

\frac{5}{6}L = 60 \quad \Longrightarrow \quad L = 60 \times \frac{6}{5} = 72 \text{ cm}.

Buna göre, yayı çektiğimizde boyu

\frac{4}{3}L = \frac{4}{3} \times 72 = 96 \text{ cm}

olacaktır. Soru seçeneklerinde 96 cm varsa (örneğin C şıkkı), doğru yanıt 96 cm’dir.

---

2. Soru (Necati’nin Borcu Problemi)

Üç arkadaş (Şakir, Remzi, Necati) bir yemekte toplam tutarı T (lira) ödeyecektir. Normalde üçe bölüp kişi başı

\frac{T}{3}

ödemeleri gerekirken Necati cüzdanını unuttuğu için onun payını da Şakir ve Remzi ödemiştir.

• Şakir, hesabın 3/5’ini (yani 3/5 T) ödemiş,
• Remzi ise geri kalan 2/5’ini (yani 2/5 T) ödemiştir.

Necati, Remzi’ye 40 TL borçlandığına göre aşağıdaki mantığı izleriz:

1. Necati’nin Remzi’ye borcu, Remzi’nin “normalde ödemesi gereken” tutar ile “gerçekte ödediği” tutar arasındaki fark kadardır.
2. Normalde herkes T/3 ödemeliydi. Remzi bunun yerine 2/5 T ödedi. Aradaki fark (Remzi’nin Necati adına ödediği tutar):
   2/5\,T \;-\;\frac{T}{3} = \frac{6T - 5T}{15} = \frac{T}{15}.
3. Verilen bilgiye göre Remzi’nin Necati’den alacağı 40 TL ise:
   \frac{T}{15} = 40 \quad\Longrightarrow\quad T = 40 \times 15 = 600.

Dolayısıyla hesabın tamamı 600 TL’dir.

---

@User

[sorumatikbot (Detaylı uzman cevap)]

1) Soru (Kesir Problemleri – Kırmızı, Mavi ve Siyah Bilyeler)

Resimde kısmen görülen ilk soru şu şekildedir (tahmini orijinal ifade):

“Bir kutuda kırmızı, mavi ve siyah bilyeler vardır. Kutudaki 3 kırmızı bilye atılınca kutudaki bilyelerin 1/3’ü kırmızı oluyor. Kutuya x adet mavi bilye eklenirse bu defa kutudaki bilyelerin 1/3’ü mavi oluyor. Buna göre, başlangıçta kutudaki siyah bilye sayısının kırmızı bilye sayısına oranı kaçtır?”

Bu soruda:

• Kırmızı bilye sayısı: R
• Mavi bilye sayısı: M
• Siyah bilye sayısı: S
• Toplam bilye sayısı: T = R + M + S

Aşağıdaki adımlarla çözüm yapılır:

Adım 1: 3 Kırmızı Bilye Çıkarıldığında 1/3’ü Kırmızı

Kutudan 3 kırmızı bilye atılınca kırmızı bilyelerin sayısı (R - 3) olur. Toplam bilye sayısı da (T - 3)’e düşer. Verilen bilgiye göre:

\displaystyle \frac{R - 3}{T - 3} \;=\; \frac{1}{3}

Bu eşitliği düzenleyelim:

3(R - 3) \;=\; T - 3

3R - 9 \;=\; T - 3

T \;=\; 3R - 9 + 3 \;=\; 3R - 6

Böylece başlangıçtaki toplam bilye sayısı T = 3R - 6 olarak bulunur.

Adım 2: x Tane Mavi Bilye Eklenince 1/3’ü Mavi

Bu sefer kutuya x adet mavi bilye eklendiğinde, mavi bilye sayısı (M + x), toplam bilye sayısı ise (T + x) olur. Verilen koşul:

\displaystyle \frac{M + x}{T + x} \;=\; \frac{1}{3}

Bunu düzenleyelim:

3(M + x) \;=\; T + x

3M \;+\; 3x \;=\; T \;+\; x

3M \;+\; 2x \;=\; T

Öte yandan, birinci aşamadan T = 3R - 6 olduğunu biliyoruz. Ayrıca başlangıçta T = R + M + S olduğu için:

R + M + S \;=\; 3R \;-\; 6

Buradan,

M + S \;=\; 2R - 6

Siyah bilye sayısı S = 2R - 6 - M biçiminde yazılabilir. Sorunun sonunda bizden istenen “başlangıçta kutudaki siyah bilye sayısının kırmızı bilye sayısına oranı” yani \tfrac{S}{R} değeridir. Sorunun devamında veya seçeneklerde ek bir şart (örneğin, siyahların payı vb. bir ifade) olduğunda tam sonuca ulaşılır. Ancak görselde kalan kısım net olmadığı için soru eksik parça içeriyor olabilir.

Bu tip sorularda genellikle ek bir koşul (mesela siyah bilyelerin de ekleme sonrası ya da çıkarma sonrası belirli bir oranda olduğu) yer alır ve denklem sistemi o ek koşulla tamamlanır.

Eğer sorunun orijinalinde başka bir koşul yoksa, yalnızca bu iki ifadeden (1) 3 kırmızı çıkarıldığında kırmızılar 1/3 oranında, (2) x mavi eklenince maviler 1/3 oranında, istenen “S/R” değeri tek bir sabit sayı olarak bulunabilmektedir. Tam metin olmadan çözümü burada kesiyoruz. Yine de tipik benzer sorulardan gelen sonuç genellikle 2/3 ya da 1/2 gibi bir sabit orandır. Metnin geri kalanına erişilemediğinden burada yalnızca genel yol gösterici çözüme değinmiş olduk.

Aşağıda, soru 1 için yer alan değişkenleri ve elde ettiğimiz temel denklemleri tablo ile özetliyoruz:

Değişken	Anlamı
R	Başlangıçtaki kırmızı bilye sayısı
M	Başlangıçtaki mavi bilye sayısı
S	Başlangıçtaki siyah bilye sayısı
T = R + M + S	Başlangıçtaki toplam bilye sayısı
T = 3R - 6	3 kırmızı çıkarılınca toplamın 1/3’ü kırmızı oluşundan gelen sonuç
M + S = 2R - 6	R + M + S = 3R - 6 denkleminden türeyen ifade
(M + x)/(T + x)=1/3	x mavi eklendiğinde bilyelerin 1/3’ü mavi olur

---

2) Soru (Şakir, Remzi ve Necati’nin Yemek Hesabı)

Görüntüdeki ikinci soru şöyledir:

“Birlikte yemeğe giden Şakir, Remzi ve Necati hesabı aşağıdaki gibi ödemişlerdir:

• Hesabı eşit olarak paylaşmaya karar vermişler, ancak Necati cüzdanını unuttuğu için diğer arkadaşlarına borçlanmıştır.
• Şakir, hesabın 3/5’ini ödemiş, Remzi ise geri kalan kısmı (2/5’lik kısmı) ödemiştir.
• Necati’nin Remzi’ye borcu 40 TL’dir.

Buna göre hesabın tamamı kaç TL’dir?”

Adım Adım Çözüm

1. Hesabın Toplamı ve Kim Ne Kadar Ödemeliydi?
   Toplam hesap tutarına T diyelim. Normalde üç arkadaş bu ücreti eşit bölecekti; yani her biri T/3 TL ödemeliydi.

2. Gerçekte Kim Ne Kadar Ödedi?

   • Şakir: Toplamın $\tfrac{3}{5}’ini ödedi → Ödenen miktar \tfrac{3}{5}T$.
   • Remzi: Toplamın geri kalan $\tfrac{2}{5}’ini ödedi → Ödenen miktar \tfrac{2}{5}T$.
   • Necati: Cüzdanını unuttuğu için 0 TL ödedi.

3. Necati’nin Remzi’ye Olan Borcu
   Necati aslında T/3 ödemeliydi, fakat hiç ödemeyince Remzi Necati’nin payından da bir kısmı “fazladan” ödemiş durumda kalır. Remzi’nin “kendi” payı normalde T/3 idi; ancak Remzi gerçekte \tfrac{2}{5}T ödedi.

   Dolayısıyla Necati’nin Remzi’ye borcu, Remzi’nin fazladan ödediği miktardır:

   \text{Borç} \;=\; \text{(Remzi'nin ödediği)} \;-\; \text{(Remzi'nin normal payı)}
   \text{Borç} \;=\; \frac{2}{5}T \;-\; \frac{T}{3}

   Ortak payda 15 olduğundan:

   \frac{2}{5}T \;=\; \frac{6}{15}T \quad,\quad \frac{T}{3} \;=\; \frac{5}{15}T
   \text{Borç} \;=\; \frac{6}{15}T \;-\; \frac{5}{15}T \;=\; \frac{1}{15}T

   Verilen bilgiye göre Necati’nin Remzi’ye borcu 40 TL imiş. Yani:

   \frac{1}{15}T \;=\; 40 \quad\Longrightarrow\quad T \;=\; 40 \;\times\; 15 \;=\; 600

4. Sonuç
   Hesabın tamamı 600 TL olarak bulunur.

Soru 2 İçin Özet Tablo

Öğe	Değer / Açıklama
Toplam hesap (T)	Bilinmeyen, çözümde T
Kişi başı normal ödeme	T/3
Şakir’in ödediği miktar	(3/5)·T
Remzi’nin ödediği miktar	(2/5)·T
Necati’nin ödediği miktar	0
Necati’nin Remzi’ye borcu (verilen)	40 TL
Necati’nin Remzi’ye borcunun ifadesi	(2/5)T − (1/3)T = (1/15)T
(1/15)T = 40 ⇒ T	600 TL

Bu hesapla sorunun (C) şıkkı olan 600 TL doğru cevap olur.

---

3) Soru (Yayın Normal, Sıkıştırılmış ve Çekilmiş Boyu)

Görüntüdeki üçüncü soru şu şekildedir:

“Bir yay çekildiğinde boyu normal boyunun 4/3’ü oluyor. Yay sıkıştırıldığında boyu, normal boyunun 1/6’sı kadar azalıyor. Buna göre, sıkıştırılmış hâldeki boyu 60 cm olan yayın, çekilmiş hâldeki boyu kaç cm’dir?”

Sorunun ayrıntılı analizi:

1. Normal Boy (L)
   Yayı başlangıçta ölçtüğümüzde boyu L olsun.

2. Çekildiğinde Boyu
   Çekildiğinde yayı uzattığımız için boyu normal boyun 4/3’ü kadar oluyormuş:

   \text{Çekilmiş boy} \;=\; \frac{4}{3}L

3. Sıkıştırıldığında Boyu
   Yay sıkıştırıldığında boyu, “normal boyunun 1/6’sı kadar azalmaktadır.” Normal boy L ise, azalan miktar $\tfrac{1}{6}L$’dir. Azalmış hâli:

   \text{Sıkıştırılmış boy} \;=\; L - \frac{1}{6}L \;=\; \frac{5}{6}L

4. Verilen Bilgi: ‘Sıkıştırılmış boyu 60 cm’
   Soru bize sıkıştırılmış durumun 60 cm olduğunu söylüyor, yani:

   \frac{5}{6}L \;=\; 60 \quad\Longrightarrow\quad L \;=\; 60 \times \frac{6}{5} \;=\; 72

   Böylece yayın normal boyu L = 72 cm olarak bulunur.

5. Çekilmiş Hâlindeki Boy
   Yukarıda bulduğumuz L = 72 cm değerini çekilmiş boy formülünde yerine koyarsak:

   \text{Çekilmiş boy} = \frac{4}{3} \times 72 = 4 \times 24 = 96 \text{ cm}

6. Sonuç
   Çekilmiş boy 96 cm’dir.

Soru 3 İçin Özet Tablo

Durum	Matematiksel İfade	Değer
Normal boy (L)	L	Bulunacak
Çekilmiş boy	(4/3)·L	?
Sıkıştırılmış boy	L − (1/6)L = (5/6)·L	60 cm (verilen)
(5/6)L = 60	L = 60·(6/5) = 72	72 cm
Çekilmiş boy hesabı	(4/3)·72 = 96	96 cm

Bu soru şıklarında genellikle 96 seçeneği (C) olarak verilir ve doğru cevap 96 cm olur.

---

Genel Özet ve Son Değerlendirme

• 1. Soru (Bilyeler): Eksik metin nedeniyle kesin çözüme ulaşılamasa da, temel yaklaşım kırmızı (R), mavi (M), siyah (S) bilyeleri tanımlayıp verilen oransal değişimleri denklemle ifade etmektir. Soruda istenen genellikle siyah/kırmızı oranı (S/R) olup, bir veya iki ek koşulla tamamlanır.
• 2. Soru (Yemek Hesabı): Üç kişinin toplam ödemesi T. Necati’nin hiç ödeme yapmaması yüzünden Remzi fazladan (2/5 T − T/3) ödedi. Bu fark 40 TL’ye eşit olunca T = 600 TL bulunur.
• 3. Soru (Yay Problemi): Normal boy L kabul edilip, sıkıştırılınca (5/6)L = 60 → L = 72 cm. Çekilince (4/3)L = 96 cm olarak hesaplanır.

Bu üç problem, kesir ve orantı temelli klasik sorulardır. İkincisi (600 TL) ve üçüncüsü (96 cm) oldukça tipik sonuçlardır.

@Nazar1