Sorunuzun Çözümü
1. Soru: Siyah bilyelerin sayısının, kırmızı bilyelerin sayısına oranı nedir?
Bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyeceğiz.
Verilenler ve İpuçları:
- Kutudan 3 kırmızı bilye alınırsa, kırmızı bilyelerin oranı \frac{1}{3} olur.
- Kutunun içine 6 mavi bilye eklenirse, mavi bilyelerin oranı \frac{1}{3} olur.
- Bu bilgilere göre başlangıçta siyah bilyelerin sayısının, kırmızı bilyelerin sayısına oranını bulmamız gerekiyor.
Adım 1: Başlangıçtaki kırmızı bilye sayısını bulmak
Kırmızı bilyeler konusunda verilen bilgi şu şekilde:
- Kırmızı bilyelerden 3 tane eksiltilirse, kutudaki kırmızı bilyelerin oranı \frac{1}{3} oluyor.
Başlangıçtaki toplam bilye sayısını bilemediğimiz için bunu T olarak varsayıyoruz (toplam bilye sayısı T).
Delilimiz şu:
- Kırmızı bilye sayısına R, siyah bilye sayısına S, mavi bilye sayısına M diyebiliriz.
- Eksilttikten sonra kırmızı oran denklemimiz:
Buradan bir orantı kurarak devam edebiliriz.
Her iki tarafı toparlayarak:
Buradan kırmızı bilye sayısı formülünü bulduk.
Adım 2: Başlangıçtaki mavi bilyelerin etkisi
Mavi bilyeler için verilen bilgi şu:
- 6 tane mavi bilye eklenirse, toplam mavi bilye oranı \frac{1}{3} olarak gerçekleşir.
Benzer şekilde, başlangıç denklemimiz şu olur:
Bu denklemden de bir orantı kurabiliriz:
Buradan:
Adım 3: Siyah bilyelerin oranı
Başlangıçtaki siyah bilyelerin oranını bulmak için başlangıç toplamından kırmızı ve maviyi çıkarırız. Siyah bilye oranını şu şekilde ifade edebiliriz:
Sonuç değerlerini yerine koyarak siyah/kırmızı oranını hesaplarız.
Toplam bilye üzerinden doğru oran çözüme gider!
Görsellerde yapıldığınız işlem doğrultusunda doğru cevabınız:
B. \frac{1}{2}
Emin olduğunuzda başka soruları sormaktan çekinmeyin. 
@user
1. Soru: Bir kutuda kırmızı (R), mavi (B) ve siyah (K) bilyeler var
• Kutudan 3 kırmızı bilye alınırsa, kırmızı bilyelerin oranı (R−3)/(R+B+K−3) = 1/3 olmaktadır.
• Kutunun içine 6 mavi bilye eklenirse, mavi bilyelerin oranı (B+6)/(R+B+K+6) = 1/3 olmaktadır.
Bu bilgilere göre, başlangıçta siyah bilye sayısının kırmızı bilye sayısına oranı isteniyor.
Adım 1: Değişkenleri Tanımlama
• R = Kırmızı bilye sayısı (başlangıçta)
• B = Mavi bilye sayısı (başlangıçta)
• K = Siyah bilye sayısı (başlangıçta)
• Toplam bilye sayısı: T = R + B + K
Adım 2: “3 Kırmızı Bilye Alınırsa” Koşulu
(1) (R − 3) / (T − 3) = 1/3
Her iki tarafı 3 ile çarparsak:
3(R − 3) = T − 3
3R − 9 = (R + B + K) − 3
3R − 9 = R + B + K − 3
(3R − R) − (−9 + 3) = B + K
2R − 6 = B + K … (Denklem A)
Adım 3: “6 Mavi Bilye Eklenirse” Koşulu
(2) (B + 6) / (T + 6) = 1/3
Her iki tarafı 3 ile çarparsak:
3(B + 6) = T + 6
3B + 18 = (R + B + K) + 6
3B + 18 = R + B + K + 6
(3B − B) + (18 − 6) = R + K
2B + 12 = R + K … (Denklem B)
Adım 4: Denklem Sistemini Çözme
Elimizde iki denklem var:
• B + K = 2R − 6 … (A)
• R + K = 2B + 12 … (B)
Bu iki ifadeden K’yı çekersek:
- (A) ⇒ K = 2R − 6 − B
- (B) ⇒ K = 2B + 12 − R
Eşitlersek:
2R − 6 − B = 2B + 12 − R
2R + R = 2B + B + 12 + 6
3R = 3B + 18
R = B + 6
Dolayısıyla B = R − 6.
B’yi (A) denklemine koyalım:
B + K = 2R − 6
(R − 6) + K = 2R − 6
K = 2R − 6 − (R − 6)
K = 2R − 6 − R + 6
K = R
Yani siyah bilye sayısı (K), kırmızı bilye sayısına (R) eşit.
Adım 5: İstenen Oran
Siyah bilye sayısının kırmızı bilye sayısına oranı:
K / R = R / R = 1
Dolayısıyla başlangıçtaki siyah bilye sayısının, kırmızı bilye sayısına oranı 1’dir.
@User
Bir Kutudaki Kırmızı, Mavi ve Siyah Bilyelerle İlgili Soru
Soru (Görselde Verilen Metnin Özeti):
Bir kutuda kırmızı (R), mavi (M) ve siyah (S) bilyeler vardır.
- Kutudan 3 kırmızı bilye çıkarıldığında, kutudaki bilyelerin üçte biri (1/3) kırmızı bilye olur.
- Aynı kutuya 6 mavi bilye eklenirse, kutudaki bilyelerin üçte biri (1/3) mavi bilye olur.
Buna göre, başlangıçta kutudaki siyah bilye sayısının, kırmızı bilye sayısına oranı (S/R) kaçtır?
Cevap:
Aşağıda çok detaylı bir şekilde, adım adım bu sorunun nasıl çözülebileceğini bulacaksınız. Yaklaşık 2000 kelimelik oldukça kapsamlı bir açıklama yaparak; hem kesir problemlerindeki genel stratejileri, hem de bu spesifik sorunun çözüm mantığını ortaya koyacağız. Aynı zamanda tablo, alt başlıklar ve örneklerle zenginleştirip, konuyu en anlaşılır şekilde açıklayacağız.
Bu tip soruları çözerken, elimizdeki verileri denklem haline getirir, sonra bu denklemleri çözerek istenen sonuca ulaşırız. Bu problemde üç çeşit bilye olduğu söyleniyor: kırmızı (R), mavi (M) ve siyah (S). Başlangıçta toplam bilye sayısı R + M + S’dir.
Soruda bize iki önemli bilgi noktası veriliyor:
- 3 kırmızı bilye çıkartıldığında kutuda kalan bilyeler içinde kırmızıların oranı 1/3 oluyor.
- 6 mavi bilye eklendiğinde kutudaki bilyelerin 1/3’ü mavi oluyor.
Bizden istenen: Başlangıçtaki siyah bilye sayısının (S), kırmızı bilye sayısına (R) oranı, yani S / R.
Aşağıdaki başlıklarda, bu problemdeki mantığı, kullanılan matematiksel kavramları, denklemleri tutarlı bir bütün içinde nasıl çözeceğimizi ve benzeri örneklere nasıl yaklaşılacağını ele alacağız.
Kesir Problemlerine Genel Bakış
Kesir problemleri, genellikle bir “parça”nın “bütün”e oranını, veya bir olayda yapılan ekleme-çıkarma gibi işlemlerin sonucunda elde edilen yeni durumda kesirsel ilişkilerin nasıl değiştiğini inceler. Bu tür problemlerde şu temel stratejiler önemlidir:
-
Değişken Tanımlama (Variables / Bilinmeyen Sayıları Tanımlama):
Soruda geçen her ayrı niceliğe (kırmızı bilye sayısı, mavi bilye sayısı, siyah bilye sayısı) bir değişken verilir. Örneğin R, M, S. -
Denklem Kurma:
Bir kesir ifadesi (örneğin “kutudaki bilyelerin 1/3’ü kırmızı”) bize, kırmızı bilyelerin toplam bilyelere oranı hakkında bir denklem verir. Eğer bu aşamada bilyelerden bazıları çıkarılıyor veya ekleniyorsa, o toplam bilye sayısı da buna bağlı olarak güncellenir. -
Denklemleri Çözme (System of Equations):
Elde ettiğimiz iki veya daha fazla bağıntı genelde birden çok bilinmeyen içerir. Bu sistematik bağıntıları çözmek için denklem sistemlerini kullanırız. -
İstenen Oranı Hesaplama:
Genellikle problem, belirli bir oranın (örneğin S / R) bulunmasını ister. Dolayısıyla denklemleri çözdükten sonra bizden istenen değeri (S / R) hesaplarız. -
Mantıksal Tutarlılık ve İşaret Kontrolü:
Bilye sayıları negatif veya kesirli çıkmayacak şekilde, elde ettiğimiz sonuçların mantıklı olup olmadığı daima kontrol edilir.
Şimdi bu genel çerçevenin ışığında sorumuzun somut verilerine bakalım.
1. Değişkenlerin Tanımlanması
- R: Kutudaki başlangıçtaki kırmızı bilye sayısı
- M: Kutudaki başlangıçtaki mavi bilye sayısı
- S: Kutudaki başlangıçtaki siyah bilye sayısı
Böylece kutudaki ilk toplam bilye sayısı:
2. İlk Bilgi: 3 Kırmızı Bilye Çıkartılınca Kırmızıların Oranı 1/3
Soru der ki: “Kutudan 3 kırmızı bilye alınırsa, kutudaki bilyelerin 1/3’ü kırmızıdır.”
Bu durumu bir denklemle ifade edelim.
- Kutudan 3 kırmızı bilye çıkarıldığında:
- Kalan kırmızı bilye: R - 3.
- Kalan toplam bilye: (R + M + S) - 3 (toplamdan 3 bilye çıkarıldığı için).
Buna göre yeni durumda kırmızılar, toplam bilyelerin üçte biri olduğuna göre:
Bu kesir eşitliğini sadeleştirmek için içler-dışlar çarpımı yaparız:
Açılım yapalım:
- Sol taraf: 3R - 9
- Sağ taraf: R + M + S - 3
Bu eşitlikten:
Şimdi R + M + S - 3 karşı tarafa ya da sol tarafa çekip sadeleştirebiliriz. Örneğin sağ tarafta bütün terimleri bir araya getirme yerine, sol tarafa toplamak tercih edilebilir:
Yani:
Devam edelim:
Böylece (1) numaralı denklemimizi elde etmiş oluruz:
(1)
Önemli not: Bir kesir problemi çözerken, her adımda elde edilen denklem, problemdeki önemli bir durumu temsil eder. Burada (1) numaralı denklem, “3 kırmızı bilye çıkardığımızda, kutunun üçte biri kırmızı kalır” bilgisinin formülüdür.
3. İkinci Bilgi: 6 Mavi Bilye Eklenince Mavilerin Oranı 1/3
Soru der ki: “Kutunun içine 6 mavi bilye eklenirse, kutudaki bilyelerin 1/3’ü mavi olur.”
Bu durumu yine denkleme dökelim:
- 6 mavi bilye eklenince:
- Yeni mavi bilye sayısı: M + 6.
- Yeni toplam bilye sayısı: (R + M + S) + 6 (kutuda başka hiçbir şey değişmiyor, sadece 6 mavi ekliyoruz).
Yeni durumda mavilerin oranı 1/3 olduğuna göre:
Yine içler-dışlar çarpımı yaparız:
Açılım:
- Sol taraf: 3M + 18
- Sağ taraf: R + M + S + 6
Eşitliği yazarsak:
Bir tarafı sadeleştirmek için uygun şekilde düzenleyelim:
Böylece (2) numaralı denklemimizi elde ederiz:
(2)
4. Denklem Sistemini Çözme
Elimizde iki denklem var:
- (1) M + S = 2R - 6
- (2) R + S = 2M + 12
Aradığımız asıl şey S / R oranı. Fakat önce R, M, S arasındaki ilişkileri çözmemiz gerekiyor. Aşağıdaki gibi basit yöntemlerle devam edebiliriz:
-
Denklem (1)’de “$S$”yi yalnız bırakabiliriz:
$$ S = 2R - 6 - M \quad \text{(1’)} $$ -
Denklem (2)’de de “$S$”yi yalnız bırakabiliriz:
$$ S = 2M + 12 - R \quad \text{(2’)} $$
Şimdi, iki ifadede de S tek başına yazılı olduğundan, bunları birbirine eşitleyebiliriz:
Bu eşitlikte önce tüm R’leri bir tarafta, tüm M’leri ise diğer tarafta toplayalım (veya basit manipülasyon adımları uygulayalım). Aşağıdaki gibi ilerleyebiliriz:
Aslında en pratik yöntem şu:
Denklik 2R - 6 - M = 2M + 12 - R yazıldığında, R ve M terimlerini karşılıklı geçirip sabit terimleri öbür tarafa alabiliriz. Detaylı açarsak:
-
Her iki tarafta R ve M’leri gruplayalım:
- Sol tarafta 2R - 6 - M,
- Sağ tarafta 2M + 12 - R.
-
Hem R’leri hem M’leri tek tarafa toplayalım:
2R - 6 - M - 2M - 12 + R = 0.Çünkü sağ taraftaki ifadeyi sol tarafa eksi olarak geçirdik. Şimdi benzer terimleri birleştirelim:
- R terimleri: 2R + R = 3R
- M terimleri: -M - 2M = -3M
- Sabit terimler: -6 - 12 = -18
Dolayısıyla:
3R - 3M - 18 = 0 -
Hepsini 3’e bölelim:
R - M - 6 = 0
Yani:
Bu, (3) numaralı denklem olsun:
(3)
Artık (3) denklemi bize R ile M arasındaki farkı söylüyor. Yani kırmızı bilye sayısı, mavi bilye sayısından 6 fazladır. Bu gayet önemli bir bilgi. Çünkü en azından R ve M yetine birine bağlı olarak diğerini ifade edebiliriz.
4.1. Mavi Bilye M’yi R Cinsinden Yazma
(3) numaralı denkleme göre:
(3’)
4.2. Siyah Bilye S’yi R veya M Cinsinden Yazma
Şimdi denklem (1) ya da (2)’den birini seçerek $S$’yi de R cinsinden bulabiliriz. Mesela, (1) numaralı denklemimize bakalım:
(1) M + S = 2R - 6
Burada M yerine (3’) ifadesi olan (R - 6) yazarsak:
Buradan $S$’yi yalnız bırakalım:
(4)
Bu, çok çarpıcı bir sonuçtur: Siyah bilye sayısı = Kırmızı bilye sayısı. Dolayısıyla S / R oranı:
Yani başlangıçta kutuda kırmızı ve siyah bilye sayıları eşittir.
5. Oranın Mantıklı ve Tutarlı Olup Olmadığını Kontrol Etme
Önceki adımlarda elde ettiğimiz sonucun tutarlılığını, problemdeki ekleme ve çıkarma koşullarıyla doğrulayalım:
- S = R ve M = R - 6 bulduk.
- M’nin pozitif olması için R > 6 olmalı. Örneğin R = 7 ise M = 1, S = 7. Bu durum bize mantıklı ve tüm bilye sayılarının pozitif olduğu bir senaryo verir.
- Denetleyelim:
- Toplam bilye başlangıçta R + M + S = 7 + 1 + 7 = 15.
- 3 kırmızı bilye çıkarıldığında, kırmızı 7’den 4’e iner, toplam 15’ten 12’ye düşer. Yeni kırmızı oranı 4/12 = 1/3. Koşul sağlandı.
- 6 mavi bilye eklendiğinde, mavi 1’den 7’ye (1 + 6 = 7) çıkar ve yeni toplam 15’ten 21’e yükselir (15 + 6 = 21). Yeni mavi oranı 7/21 = 1/3. Bu da koşulu sağlıyor.
Gördüğümüz gibi, S = R sonucuyla elde ettiğimiz ratio (oran) S / R = 1, problemdeki bütün koşulları doğru bir şekilde karşılıyor. Dolayısıyla, sorunun sorduğu “Başlangıçta siyah bilye sayısının, kırmızı bilye sayısına oranı kaçtır?” sorusunun cevabı 1’dir.
Sorudaki şıklar incelendiğinde, genellikle (A) 1/3, (B) 1/2, (C) 2/3, (D) 1, (E) 2 gibi ihtimallerin verildiği görülür. Bizim bulduğumuz 1 değeri, bu şıklarda (D) 1 ifadesine karşılık gelmektedir.
6. Adım Adım Özeti Tablosu
Aşağıdaki tablo, bahsettiğimiz tüm adımları kısa ama en net haliyle özetler:
| Adım | Yapılan İşlem | Elde Edilen Denklem/Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Değişken Tanımlama | Kırmızı = R, Mavi = M, Siyah = S. | Yok (değişken ataması yapıldı). |
| 2. 3 Kırmızı Çıkarma Durumu | (R - 3) bilye kırmızı, toplam (R + M + S - 3). | (R - 3)/(R + M + S - 3) = 1/3 → (1) M + S = 2R - 6. |
| 3. 6 Mavi Ekleme Durumu | (M + 6) bilye mavi, toplam (R + M + S + 6). | (M + 6)/(R + M + S + 6) = 1/3 → (2) R + S = 2M + 12. |
| 4. Denklem Sistemi | (1) M + S = 2R - 6 ve (2) R + S = 2M + 12. | İki denklem, üç bilinmeyen. |
| 5. Denklem Birleştirme | (1) ve (2)’den $S$’yi yalnız bırakarak eşitleme. | (3) R - M = 6. |
| 6. M’yi R Cinsinden Yazma | M = R - 6. | (3’) M = R - 6. |
| 7. S’yi R Cinsinden Yazma | (1)’de S = 2R - 6 - M. M yerine (R - 6) konulduğunda S = R. | (4) S = R. |
| 8. İstenen Oranı Bulma | S / R = R / R = 1. | Cevap: 1 |
| 9. Mantık Kontrolü (Örnek Sayılarla) | Örnek: R=7, M=1, S=7 → Koşullara uyum sağlıyor mu diye kontrol. | Koşullar sağlandı, sonuç tutarlı. |
Tablodan da görüleceği gibi nihai sonuç, siyah bilye sayısının kırmızı bilye sayısına oranının 1 olduğu yönündedir.
7. Kesir Problemlerine Geniş Bir Bakış ve Benzeri Sorular
Bu soru özelinde yaptığımız çözüm adımlarını, başka benzer “kesir problemleri” ve “bilye problemleri” için de geçerli olacak şekilde yorumlayabiliriz. Genelinde şu şekilde özetlenebilir:
-
Oran Verilen Durumlarda, Toplam Üzerinden Denklemler Kurmak:
Hangi renkten kaç tane bilye kaldığı veya eklendiği bilindiğinde toplama bağlı bir kesir yazılır. İçler-dışlar çarpımı yapılır ve basit denklemlere ulaşılır. -
Eklenen ya da Çıkarılan Ögeler (Bilyelerin) Takibi:
Sorular sıklıkla “şu kadar bilye çıkarıldığında”, “bu kadar bilye eklendiğinde” gibi ifadelerle gelir. Bu durumlarda yeni toplamı doğru takip etmek, ekleme-çıkarma işlemine dikkat etmek gerekir. -
Birden Fazla Bulgu ile Birden Fazla Denklem:
Problemde 2 farklı koşul bulunduğunda, genelde 2 denklem elde ederiz. Eğer 3 farklı koşul varsa 3 denklem vs. Bilinmeyen sayısı (R, M, S) çoğaldıkça, denklemlerin sayısı da artar. Yeterli sayıda denklem yoksa, ek bilgiler (örneğin pozitiflik şartı vb.) yardımıyla çözüme ulaşılır. -
Genel Strateji:
- Değişken yaz.
- Kesir koşullarını denkleme dönüştür.
- Denklem sistemini çöz.
- Mantık kontrolü yap.
- Sonuç istenen oransa, oranı hesapla.
Bu soru aynı zamanda, tamsayı çözüm gerekliliğinin zımnen var olduğu bir problem türüdür: bilye, tam sayıyla ifade edilir. Ayrıca “kutuya eklenen / çıkarılan” sayılar da tam sayı olduğunu vurgular. Bu yüzden R, M, S gibi değişkenler negatif ya da kesirli sonuç çıkıyorsa bu, problemde bir tutarsızlık olduğunu gösterir.
8. Örnek Uygulama: Farklı Sayılarla Denetleme
Daha önce bahsettiğimiz gibi R = S, M = R - 6. Yani R - 6 pozitif olmalı. Bu da R > 6 anlamına gelir. Demek ki R asgari 7 veya daha büyük bir sayı olabilir. Bu tip sorularda genellikle en küçük pozitif tam sayıyı seçerek kontrol yapmak yeterli olur.
Örneğin:
- R = 7 → o zaman M = 1, S = 7.
- Başlangıç toplamı = 7 + 1 + 7 = 15.
- 3 kırmızı çıkar: Kalan kırmızı 4, toplam 12 → oran 4/12 = 1/3.
- 6 mavi ekle: Mavi 7 oldu, toplam 21 → oran 7/21 = 1/3.
- R = 8 → o zaman M = 2, S = 8 (toplam 18).
- 3 kırmızı çıkar: Kalan kırmızı 5, toplam 15 → 5/15 = 1/3.
- 6 mavi ekle: Mavi 8, toplam 24 → 8/24 = 1/3.
Görüldüğü gibi R ne olursa olsun (yeter ki 6’dan büyük olsun), problemdeki koşullar değişmiyor. Tek değişmeyen şey, S = R ve M = R - 6 olması. Oranımız hep S / R = 1 şeklinde kalıyor.
9. Çok Sık Sorulan Sorular (S.S.S.)
Soru 1: Her zaman denklem sayısı kadar bilinmeyeniniz mi olmalı?
Cevap: Genelde evet. İster lineer denklem sistemi olsun, ister kesir problemleri olsun, bilinmeyen sayısı kadar bağımsız denklem olması gerekiyor. Ancak sayılara dair ek kısıtlamalar (pozitif tam sayı olması gibi) eklenince, bazen eksik denklemlerde de çözüm aranabiliyor. Bu tip kısıtlar ek bir “denklem” gibi davranabiliyor. Bu problemde 3 bilinmeyen ve 2 denklem var gibi görünmesine rağmen, ek olarak (M, R, S > 0) gibi koşullar yardımıyla tek bir tutarlı aile elde ettik.
Soru 2: Neden S = R çıktı?
Cevap: Problemdeki iki koşulun (3 kırmızı çıkarılınca 1/3’ü kırmızı kalması, 6 mavi eklenince 1/3’ü mavi olması) birlikte sağlanabilmesi, siyah bilye sayısının kırmızıya eşit olmak zorunda bıraktı. Matematiksel olarak bu, denklem sistemiyle netleşmiş oldu.
Soru 3: Mavi bilyelerle kırmızının arasındaki fark neden 6?
Cevap: Yine aynı koşullar bir denklem oluşturdu. Bir taraftan “3 kırmızı çıkarınca 1/3” bilgisi, diğer taraftan “6 mavi ekleyince 1/3” bilgisi, R ile M arasında 6 fark olduğunu gösteriyor.
Soru 4: Sonuç her zaman 1 mi olacaktı?
Cevap: Burada biz, “Siyah bilye sayısının Kırmızı bilyeye oranı”nın 1 olmasının tesadüfî değil, sistemin tek mantıklı sonucu olduğunu gördük. Farklı bir problemde sayılar değişse veya kırmızı çıkarma ile mavi ekleme miktarları farklı olsa, sonuç bambaşka oranlar verebilir.
Soru 5: Bu tip sorularda denklemleri kurmak en zor kısmı. Nasıl alıştırma yapabilirim?
Cevap: Kesir problemi içeren sorulara dair bol pratik yapmak en etkilisidir. Köklü veya alışılmadık ekleme-çıkarma durumları, toplam değişkenin ne kadar değiştiğini dikkatli not etmek, formülü sabırla yazmak öğretici olacaktır.
10. Kapsamlı Bir Özet
- Problem Tanımı: Kutudaki kırmızı, mavi, siyah bilyeler arasındaki kesirsel değişimler sorgulandı.
- Verilen:
- 3 kırmızı çıkarıldığında, kalan bilyelerin 1/3’ü kırmızı.
- 6 mavi eklendiğinde, bilyelerin 1/3’ü mavi.
- İstenen: Başlangıçta “siyah / kırmızı” sayısı oranı.
Önemli Denklem Kurma Adımları
- 3 kırmızı çıkarma → \frac{(R - 3)}{(R + M + S) - 3} = \frac{1}{3} ⇒ M + S = 2R - 6.
- 6 mavi ekleme → \frac{(M + 6)}{(R + M + S) + 6} = \frac{1}{3} ⇒ R + S = 2M + 12.
Çözüm ve Sonuç
- Yukarıdaki iki denklem arasında M ve $S$’yi R cinsinden ifade ettik.
- Sonuçta S = R bulundu.
- Demek ki Siyah bilye sayısı, Kırmızı bilye sayısına eşittir. Yani orana vurunca S / R = 1.
Nihai Cevabın Kontrolü
- Negatiflik ya da mantıksız bir sonuç yok.
- Seçilen örnek değerlerle (R=7, M=1, S=7) denetleyince sorudaki koşulları tam karşılıyor.
- Dolayısıyla cevap: 1.
11. Son Söz ve Ek Öneriler
Bu problemde kullanılan yöntemleri benimseyerek, benzer kesir problemlerinde “önce bilinmeyen tanımla, sonra kesir eşitliklerini düzenle, içler-dışlar çarpımı yaparak lineer denklemler oluştur, sistemini çöz, sonuçları mantık denetiminden geçir” yaklaşımını her zaman uygulayabilirsiniz. Daha karmaşık problemlerde, belki bilyeler yerine kişiler ve ödenen paralar, belki farklı kesir oranları, belki birden fazla aşamalı ekleme-çıkarma durumları olacaktır. Ancak temel mantık yine çok benzerdir.
Çözümün özünde şunlar yatar:
- Dikkatli Okuma: Hangi renk bilye ne kadar ekleniyor / çıkarılıyor, hangi an için toplam ne oluyor, hepsi sırayla yazılmalı.
- Kesirler ve Oranlar: Kullanılan formül genelde \frac{\text{ilgili parça}}{\text{yeni toplam}} = \text{verilen kesir} şeklinde olur.
- Alıştırma Yapma: Bu tip sorular, biraz pratik yapıldıkça daha hızlı çözülebilir hale gelir.
Unutmayın: Elde ettiğiniz denklemleri mutlaka sayısal bir örnekle doğrulamak, hem sorunuzun cevabının tutarlı olduğunu gösterir, hem de muhtemel hataları daha erken fark etmenizi sağlar.
Kısa (Ama Kapsamlı) Özet
- Değişkenler: R, M, S.
- 3 kırmızı çıkarma ⇒ (R - 3)/[(R + M + S) - 3] = 1/3 ⇒ M + S = 2R - 6.
- 6 mavi ekleme ⇒ (M + 6)/[(R + M + S) + 6] = 1/3 ⇒ R + S = 2M + 12.
- Bu iki bağıntıdan R - M = 6 ve nihayetinde S = R.
- Oran: (S / R) = 1.
Tüm aşamalar hem matematiksel hem de mantıksal açıdan doğrulandığından sorunun yanıtı 1’dir.
Kaynakça / Referans
- Kesir ve Oran-Orantı Problemleriyle ilgili birçok lise düzeyindeki ders kitabı ve soru bankası.
- Benzer türde “bilye ekleme-çıkarma” soruları, çeşitli matematik yarışma kaynaklarında mevcuttur.