Çözüm: Soruyu Adım Adım Çözelim
Soru, başlangıçtaki kırmızı renkteki bilyelerin tüm bilye sayısına olan oranını bulmamızı istiyor. Bunun için analiz yapalım.
Sorunun Özeti
Bir torbada mavi (M), kırmızı (K) ve beyaz (B) renkte bilyeler bulunmaktadır.
- Mavi bilyelerin \frac{1}{3}'ü çıkarılıp yerine aynı sayıda kırmızı bilye ekleniyor.
- Son durumda mavi, kırmızı ve beyaz bilyelerin sayısı birbirine eşit oluyor.
- Soru, kırmızı bilyelerin başlangıçtaki toplam bilye sayısına oranını sormakta.
Çözüm Adımları
Varsayımlar:
- Torbadaki toplam bilye sayısı: T
- Mavi bilye sayısı başlangıçta: M
- Kırmızı bilye sayısı başlangıçta: K
- Beyaz bilye sayısı başlangıçta: B
1. Son Durum: Bilye Sayıları Eşit
Son durumda tüm renkteki bilye miktarları eşittir, yani:
$$ M’ = K’ = B $$
Burada son durumdaki bilye miktarlarını ifade etmek için başlangıçtan itibaren olan değişimleri kullanırız.
2. Mavi Bilyeler Üzerindeki Değişim
Başlangıçta M olan mavi bilyelerin \frac{1}{3}‘ü çıkarılıyor. Bu durumda geriye:
$$ M’ = M - \frac{M}{3} = \frac{2M}{3} $$
3. Kırmızı Bilyeler Üzerindeki Değişim
Kırmızı bilyelere mavi bilyelerden çıkarılan miktar kadar ekleme yapılır. Yani yeni kırmızı bilye sayısı:
$$ K’ = K + \frac{M}{3} $$
4. Beyaz Bilyeler Üzerinde Değişiklik Yok
Beyaz bilyelerin sayısı sabit kalmıştır:
$$ B’ = B $$
5. Sayılar Eşit Olduğuna Göre Denklem Kurma
Son durumda tüm renkteki bilye sayıları eşit olduğundan:
$$ M’ = K’ = B’ $$
Bu durumda:
- \frac{2M}{3} = K + \frac{M}{3}
- \frac{2M}{3} = B
6. İkinci Denklemden B'yi İfade Edelim
$$ B = \frac{2M}{3} $$
7. Birinci Denklemden K'yı Bulalım
Birinci denkleme göre:
$$ \frac{2M}{3} = K + \frac{M}{3} $$
Buradan K'yı yalnız bırakalım:
$$ K = \frac{2M}{3} - \frac{M}{3} $$
$$ K = \frac{M}{3} $$
8. Tüm Bilye Sayısını İfade Edelim
Başlangıçtaki toplam bilye sayısı:
$$ T = M + K + B $$
Bulduğumuz değerleri yerine koyarsak:
$$ T = M + \frac{M}{3} + \frac{2M}{3} $$
$$ T = \frac{3M}{3} + \frac{M}{3} + \frac{2M}{3} $$
$$ T = \frac{6M}{3} = 2M $$
9. Kırmızı Bilye Oranı
Başlangıçtaki kırmızı bilyelerin toplam bilye sayısına oranı:
$$ \text{Oran} = \frac{K}{T} $$
Yerine koyarsak:
$$ \text{Oran} = \frac{\frac{M}{3}}{2M} $$
$$ \text{Oran} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} $$
$$ \text{Oran} = \frac{1}{6} $$
Sonuç
Başlangıçta kırmızı bilyelerin toplam bilye sayısına oranı \frac{1}{6}'dır.
Doğru Cevap: D) \frac{1}{6}
@username
Bir torbada mavi, kırmızı ve beyaz renkli bilyeler bulunmaktadır. Bu torbadaki mavi bilyelerin 1/3’ü alınıp yerine aynı sayıda kırmızı bilye konuluyor. Son durumda torbadaki mavi, kırmızı ve beyaz bilye sayısı eşit oluyor. Buna göre başlangıçta kırmızı bilye sayısının tüm bilye sayısına oranı kaçtır?
Cevap:
Adım Adım Çözüm
1. Değişkenlerin Tanımlanması
- M: Başlangıçtaki mavi bilye sayısı.
- R: Başlangıçtaki kırmızı bilye sayısı.
- W: Başlangıçtaki beyaz bilye sayısı.
- Toplam bilye sayısı: T = M + R + W.
2. İşlemler Sonucu Mavi ve Kırmızı Bilyelerdeki Değişim
- Mavi bilyelerin 1/3’ü (M/3) torbadan çıkarılır ve yerine aynı sayıda (M/3) kırmızı bilye eklenir.
- Yeni mavi bilye sayısı: M’ = M − (M/3) = 2M/3.
- Yeni kırmızı bilye sayısı: R’ = R + (M/3).
- Beyaz bilye sayısı değişmez: W’ = W.
3. Son Durumda Bütün Renklerin Sayıları Eşit
M' = R' = W'
Bu eşitlikler bize şu denklemleri verir:
- 2M/3 = R + M/3
- 2M/3 = W
Birinci denklemi çözerek R’yi bulalım:
2M/3 = R + M/3 ⇒ R = 2M/3 − M/3 = M/3
İkinci denklem:
W = 2M/3
4. Toplam Bilye Sayısını İfade Etme
Başlangıçtaki toplam bilye sayısı:
T = M + R + W = M + (M/3) + (2M/3) = M + M = 2M
5. Kırmızı Bilyelerin Oranı
Kırmızı bilyelerin (R) tüm bilye sayısına (T) oranı:
R / T = (M/3) / (2M) = 1/3 × 1/2 = 1/6
Bu da (D) 1/6 seçeneğine karşılık gelir.
Sonuç olarak, başlangıçta kırmızı bilye sayısının tüm bilye sayısına oranı 1/6’dır.
@User
Bir Torbadaki Mavi, Kırmızı ve Beyaz Bilyelerle İlgili Problem ve Çözümü
Soru (Resimde Verilen):
Bir torbada mavi, kırmızı ve beyaz renkli bilyeler bulunmaktadır. Bu torbadaki mavi bilyelerin 1/3’ü alınıp yerine aynı sayıda kırmızı bilye konuluyor. Son durumda torbadaki mavi, kırmızı ve beyaz bilye sayıları birbirine eşit oluyor. Buna göre, başlangıçta torbadaki kırmızı renk bilye sayısının tüm bilye sayısına oranı kaçtır?
A) 1/5
B) 1/8
C) 2/9
D) 1/6
E) 1/12
Cevap:
Bu soruyu çözmek için öncelikle torbada bulunan bilyeleri sembolleştirip, her bir renge atadığımız semboller üzerinden denklemler kuracağız. Sorunun temelinde, mavi bilyelerin 1/3’ünün torbadan çıkarılıp yerine aynı miktarda kırmızı bilye eklenmesi ve sonuçta mavi, kırmızı ve beyaz bilye sayıların eşitlenmesi yatmaktadır. Amacımız, başlangıçtaki kırmızı bilye sayısının, torbadaki bütün bilyelerin toplamına oranını bulmaktır.
Aşağıda bu sorunun adım adım detaylı çözümünü, ek açıklamalarla, tablolarla ve kavramların derinlemesine incelendiği şekilde bulabilirsiniz. Lütfen dikkatlice inceleyiniz; her adımda matematiksel mantık ve neden-sonuç ilişkisi açıkça belirtilmiştir.
1. Problemin Anlaşılması ve Temel Kavramlar
Bu problem, oran-orantı ve temel cebir konularını birleştiren klasik bir TYT veya LGS tipi bilye problemidir. Sorunun çekirdek noktası, bir renkten alınan belirli bir orandaki bilyelerin yerine diğer bir renkten bilyelerin eklenmesi ve yeni durumda üç rengin sayısının eşitlenmesidir.
1.1. Ortak Terimler ve Tanımlar
- Mavi Bilye (M): Başlangıçta M tane olsun.
- Kırmızı Bilye (K): Başlangıçta K tane olsun.
- Beyaz Bilye (B): Başlangıçta B tane olsun (bazı kitaplarda “W” veya “Wb” ile ifade edilir ama biz burada basitçe “B” harfiyle göstereceğiz).
Bu noktada elimizde bilinmeyen ama birbirlerine göre oranlarını bulmak istediğimiz üç değişken vardır: M, K, ve B.
- Toplam Bilye Sayısı (T): T = M + K + B (başlangıçtaki toplam).
Soru Şu Şekilde İşliyor:
- Torbadaki mavi bilyelerin $\frac{1}{3}$’ü çıkarılıp yerine aynı miktarda kırmızı bilye ekleniyor.
- Yeni durumda mavi, kırmızı ve beyaz bilye sayısı aynı oluyor.
Bu iki adımdan sonra "başlangıç"taki kırmızı bilye sayısının “tüm bilye sayısına oranı” istenmektedir.
2. Adım Adım Çözüm Planı
Herhangi bir bilye problemi ya da benzer “çıkarma-ekleme” temalı oran sorusu çözülürken şu adımlar genellikle yol gösterici olur:
- Başlangıç durumunu netleştirme: Renkler ve sayıları değişkenlerle ifade edilir.
- İşlemlerden sonra oluşan durumun ifadesi: Problemin söylediği gibi hangi renkten ne kadar çıkarılıp, yerine hangi renkten ne kadar konulduğu cebirsel ifadelere dökülür.
- Eşitlik koşullarının yazılması: Soruda sözü geçen “son durumda mavi = kırmızı = beyaz sayıları” gibi koşullar denklem(ler) hâlinde yazılır.
- Denklemleri çözerek istenen niceliğin bulunması: Başlangıçtaki K değerini, toplam bilye sayısı T cinsinden ifade edilir.
- Oranın uygun sadeleştirilmesi: \frac{K}{T} basit bir rasyonel sayıya dönüştürülerek son cevap bulunur.
Bu beş maddelik plan, pek çok benzer “yüzde”, “oran-orantı” ve “bilye değişim” probleminde izlenebilecek standart bir strateji sunar.
3. Değişkenlerin Tanımlanması ve İşlem Sonrası Durum
Sorumuzdaki değişkenler:
- M: Başlangıçtaki mavi bilye sayısı.
- K: Başlangıçtaki kırmızı bilye sayısı.
- B: Başlangıçtaki beyaz bilye sayısı.
3.1. Mavi Bilyelere Yapılan İşlem
“Mavi bilyelerin $\frac{1}{3}$’ü alınıp çıkarılıyor” ifadesi, kaç adet mavi bilye çıkarıldığının anlaşılması bakımından önemlidir:
- Mavi bilyelerden çıkarılan miktar: \frac{1}{3}M.
- O hâlde torbada kalan mavi bilye sayısı:M_{\text{yeni}} = M - \frac{1}{3}M = \frac{2}{3}M.
3.2. Yerine Konulan Kırmızı Bilyeler
Soruda “çıkarılan mavi bilyeler kadar kırmızı bilye ekleniyor” ifadesi yer alır. Çıkarılan mavi bilye sayısı \frac{1}{3}M olduğuna göre, torbaya eklenen kırmızı bilye sayısı da $\frac{1}{3}M$’dir. Dolayısıyla,
- Kırmızı bilyelerin yeni sayısı:K_{\text{yeni}} = K + \frac{1}{3}M.
3.3. Beyaz Bilyeler
Soruda beyaz bilyelerle ilgili herhangi bir çıkarma veya ekleme işlemi yapılmadığından, “beyaz bilye” sayısı sabit kalacaktır:
- Beyaz bilyelerin yeni sayısı:B_{\text{yeni}} = B \quad (\text{değişim yok})
4. Son Durumda Mavi = Kırmızı = Beyaz
Soruda açıkça “Son durumda torbadaki mavi, kırmızı ve beyaz bilye sayısı eşit” şeklinde bir ifade vardır. Bu, üç renkten oluşan bilye sayılarının birbirine eşit olduğu anlamına gelir:
- M_{\text{yeni}} = K_{\text{yeni}}
- K_{\text{yeni}} = B_{\text{yeni}}
- Dolayısıyla M_{\text{yeni}} = B_{\text{yeni}} ve K_{\text{yeni}} = B_{\text{yeni}}
Bu eşitlikleri tek tek yerine koyalım:
4.1. Mavi = Kırmızı Eşitliği
Burada \frac{2}{3}M ifadesi, yeni mavi bilye sayısı; K + \frac{1}{3}M ise yeni kırmızı bilye sayısıdır. Bu denklemi çözelim:
Böylece, başlangıçta torbadaki kırmızı bilyelerin sayısı $K$’nın \frac{1}{3}M olduğunu, yani K = \frac{1}{3}M şeklinde bir ilişki buluyoruz.
4.2. Mavi = Beyaz Eşitliği
Beyaz bilye sayısı değişmediğinden yeni beyaz bilye sayısı $B$’dir. Aynı zamanda yeni mavi bilye sayısı $\frac{2}{3}M$’dir. Eşitlik koşulundan:
Dolayısıyla, başlangıçtaki beyaz bilye sayısı B = \frac{2}{3}M olacaktır.
Son durumda elde ettiğimiz sonuçlara göre:
- Mavi bilye sayısı (ilk başta) = M
- Kırmızı bilye sayısı (ilk başta) = K = \frac{1}{3}M
- Beyaz bilye sayısı (ilk başta) = B = \frac{2}{3}M
Bu, üç renge dair net oranları ortaya çıkarır.
5. Toplam Başlangıç Bilye Sayısı ve İstenen Oran
Başlangıçta torbada bulunan tüm bilyelerin sayısı T şu şekilde yazılabilir:
Elimizde K = \frac{1}{3}M ve B = \frac{2}{3}M eşitlikleri olduğuna göre:
Parantez içi toplandığında:
Dolayısıyla,
Soruda bizden “başlangıçta torbadaki kırmızı renk bilye sayısının tüm bilye sayısına oranı” istenmektedir. Yani bulunması gereken kesir:
Bir önceki adımda bulduğumuz K = \frac{1}{3}M ve T=2M birlikte kullanılırsa:
Böylece, başlangıçtaki kırmızı bilye sayısının toplam bilye sayısına oranı \frac{1}{6} olarak bulunur. Bu da verilen çoktan seçmeli şıklardan D) 1/6 seçeneğine karşılık gelmektedir.
6. Adım Adım Durum Özeti Tablosu
Aşağıdaki tabloda, başlangıçtan itibaren değişiklik sonrası durumu ve elde edilen eşitlikleri özet hâlinde görebilirsiniz:
| Aşama | Mavi (M) | Kırmızı (K) | Beyaz (B) | Açıklama |
|---|---|---|---|---|
| 1. Başlangıç | M | K | B | Torbadaki ilk bilye sayıları. Toplam T = M + K + B. |
| 2. Değişiklik (Mavi bilyelerin 1/3’ü çıkarılır, yerine o kadar kırmızı eklenir) | Maviden çıkarılan miktar: \frac{1}{3}M. Kalan mavi: \frac{2}{3}M. |
Kırmızıya eklenen: \frac{1}{3}M. Yeni kırmızı: K + \frac{1}{3}M |
Beyaz: B (değişim yok) | Bu aşamada mavi bilyelerin $\frac{1}{3}$’ü eksilirken, aynı miktarda kırmızı bilye arttırılır. |
| 3. Son Durum (Eşitlik Sağlanır) | \frac{2}{3}M | K + \frac{1}{3}M | B | Son durumda üç renk bilye sayısı eşit olduğundan: \frac{2}{3}M = K + \frac{1}{3}M = B. |
| 4. Denklemler Yoluyla Çözüm | \frac{2}{3}M = B \quad \Rightarrow \quad B = \frac{2}{3}M | \frac{2}{3}M = K + \frac{1}{3}M \quad \Rightarrow \quad K = \frac{1}{3}M | B = \frac{2}{3}M | Bu eşitlikler vasıtasıyla K = \frac{1}{3}M ve B = \frac{2}{3}M bulunur. |
| 5. Toplam ve Oran | Başlangıçta T = M + \frac{1}{3}M + \frac{2}{3}M = 2M | K = \frac{1}{3}M | - | Oran: \frac{K}{T} = \frac{\frac{1}{3}M}{2M} = \frac{1}{6}. |
Tablodan da görülebileceği gibi, her adımda işlem sonuçları ve nihai eşitlikler tutarlı şekilde \frac{1}{6} sonucuna varmaktadır.
7. Cevabın Doğrulanması ve Önemli Noktalar
Bu tür problemlerde basit bir sağlama yaparak, sonucun tutarlı olup olmadığını görebilirsiniz. Örneğin, somut bir sayı üzerinden test etmek isterseniz:
- M = 6 olsun.
Bu durumda:- K = \frac{1}{3}\times 6 = 2.
- B = \frac{2}{3}\times 6 = 4.
- Toplam T = 6 + 2 + 4 = 12.
- Kırmızı bilyenin toplam bilyelere oranı = 2/12 = 1/6.
Şimdi prosedürü uygulayalım:
- Mavinin 1/3’ü: 6’nın 1/3’ü = 2. Bu 2 mavi bilye çıkarılıyor. Mavide kalan 4 (yani 6 - 2 = 4).
- Aynı miktarda kırmızı ekleniyor. Kırmızı 2 idi, 2 daha eklenince 4 oluyor.
- Beyaz bilye 4 olarak kalıyor.
- Son durumda mavi = 4, kırmızı = 4, beyaz = 4. Yani hepsi eşitlenmiş oluyor.
Bu somut örnek, matematiksel olarak bulduğumuz oranın kesinlikle 1/6 olduğunu bir kez daha doğrular.
8. Kavramsal Açıklamalar
Bu tip problemlerde dikkat edilecek noktaları şöyle özetleyebiliriz:
- Doğru Değişken Seçimi: Başlangıç sayıları net bilinmiyor olsa bile, cebirsel değişkenlerle (M, K, B vb.) bunları tanımlayabilirsiniz.
- Oranlı İşlemlerde Ekleme/Çıkarma: Mavi bilyelerin $\frac{1}{3}$’lük bir kısmının çıkartıp yerine aynı adette kırmızı bilye eklemek, iki farklı renkteki değişimi birbirine bağlar.
- Eşitlik Koşulu: Üç renkteki bilye sayılarının eşitlenmesi, en az iki denklem gerektirir ve bu denklemlerin sonucunda K ve B, M cinsinden ifade edilir.
- Toplam Oran Hesabı: Bulunan değişkenler toplanarak toplam T oluşturulur. Sonra orantı istenen değişkenin değeri T’ye bölünür.
- Sadeleştirme: Rasyonel sayıları sadeleştirmek, sorularda istenen şıklara ulaşmak için önemlidir.
Bu problemlerin neredeyse tamamı cebirin temel mantığını kullanmakla çözülse de, kimi zaman “deneme-yanılma” yöntemiyle de benzer sorunlar çözülebilir. Fakat sınav süresi kısıtlı olduğundan, en akıcı ve kesin yöntem yine denklem kurarak çözmektir.
9. Benzer Problemlere Yönelik Taktikler
- Minimum Örnek Değeri Seçme: Değişkenin birine kolay bir sayı (örneğin M=6, 9 veya 12 gibi) atayarak, diğer renklerin değerlerini daha kolay bulabilirsiniz.
- Ortak Kat Kullanma: Oranlar \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{5} gibi veriler içeriyorsa, paydaların ortak katlarını dikkate alın.
- Yanlışsız Çıkarma-Ekleme: Hangi renkten kaç adet çıkıyor ve hangi renge bu sayıda ekleme yapılıyorsa, o veri çok dikkatli biçimde denklemleştirilmelidir.
- Eşitliklerin Bütüncül İncelenmesi: Problemde mavi = kırmızı = beyaz gibi iki farklı eşitlik olabilir. Tüm renklerin eşitliği tek bir ifadeye indirgenmelidir.
- Şık Eleme Yöntemi: Bazı sorularda doğru cevabı şıklardan test etmek çok hızlı olabilir. Özellikle \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{9} gibi rasyonel değerler kolay test edilebilir.
10. Sonuç ve Uzun Bir Özet
Yukarıdaki adımları takip ettiğimizde, sorunun özeti şu şekilde karşımıza çıkar:
- Başlangıçta M, K, B adında üç renk bilyemiz var.
- Mavi bilyelerden \frac{1}{3}M kadarı çıkarılıp, torbaya aynı miktarda kırmızı bilye ekleniyor.
- Son durumda mavi bilye sayısı \frac{2}{3}M, kırmızı bilye sayısı K + \frac{1}{3}M, beyaz bilye sayısı ise B oluyor.
- Soruda mavi, kırmızı ve beyaz sayılarının birbirine eşit olduğu belirtilmesiyle şu denklemler elde ediliyor:\frac{2}{3}M = K + \frac{1}{3}M = B.
- Eşitliklerden K = \frac{1}{3}M ve B = \frac{2}{3}M bulunuyor.
- Toplam bilye sayısı T = M + K + B = M + \frac{1}{3}M + \frac{2}{3}M = 2M.
- Dolayısıyla “kırmızı bilye sayısının başlangıçtaki toplam bilye sayısına oranı” \frac{K}{T} = \frac{\frac{1}{3}M}{2M} = \frac{1}{6} oluyor.
Kısa Hâliyle: “$\frac{1}{3}’lük bir mavi bilye kayması, kırmızı bilye artışı yapsa da sonuçta üç renk eşitleniyorsa, başta kırmızı bilyeler toplamın \frac{1}{6}$’sı kadardır.”
Bu mantık zinciriyle, çoktan seçmeli sorularda “1/5”, “1/6”, “1/8”, “2/9” vb. oranlardan en doğru cevap 1/6 olur.
11. Kaynaklar ve Ek Okumalar
- Ortaöğretim Matematik Ders Kitapları (MEB Yayınları).
- Açık Kaynak Cebir Notları (Örneğin, OpenStax “Intermediate Algebra”).
- TYT Matematik Soru Bankaları (Üç renk bilye veya karışım problemleri yoğunlukla benzer çözümler içerir).
- Benzer Oran-Orantı Problemleri: Bazı test kitaplarında “Torbada kırmızı, siyah, yeşil boncuk” veya “Çantada 3 çeşit kalem” gibi varyasyonlar bulunur ve metod aynıdır.
12. Nihai Cevap
Yukarıda anlatılan tüm aşamalar, denklemler ve sağlama örneği, cevabımızı kesin ve net biçimde göstermektedir:
Başlangıçta torbadaki kırmızı bilye sayısının tüm bilye sayısına oranı: \frac{1}{6}.
Bu da soruda verilen çoktan seçmeli şıklardan D şıkkı (1/6) ile örtüşmektedir.