Şekildeki ABCD karesinin bir kenarının uzunluğu ((a + b)) birimdir. Şekilde verilenlere göre boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Cevap:
ABCD karesinin bir kenar uzunluğu ((a + b)) birimdir. Bu kare içindeki beyaz alan bir eşkenar dörtgendir ve köşegenleri 45° ile bölünmüştür. Boyalı alanı bulmak için öncelikle beyaz alanı hesaplamamız gerekiyor.
Çözüm Adımları:
-
Beyaz Alanın (Eşkenar Dörtgenin) Kenar Uzunluğunu Bulma:
Eşkenar dörtgenin iki köşegeni, karenin dört kenarını ((a \times b)) bölülerinde dik keser. Eşkenar dörtgenin köşegenleri 45° açılarıyla bölünmüş olduğundan, köşegen uzunlukları (a - b) ve (b - a) birimleridir.
Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğu, aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
\text{kenar} = \sqrt{(a - b)^2 + (b - a)^2} = \sqrt{2(a - b)^2} = \sqrt{2}(a - b) -
Beyaz Eşkenar Dörtgenin Alanını Bulma:
Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenler çarpımının yarısı ile bulunur:
\text{Alan}_{\text{eşkenar dörtgen}} = \frac{1}{2} \times (a - b) \times (a - b) = \frac{1}{2}(a - b)^2 -
Kare Alanından Eşkenar Dörtgen Alanını Çıkararak Boyalı Alanı Bulma:
Karenin toplam alanı ((a + b)^2) birimkaredir. Bu alandan eşkenar dörtgenin alanını çıkararak boyalı alanı buluruz:
\text{Alan}_{\text{boyalı}} = (a + b)^2 - \left(\frac{1}{2}(a - b)^2\right) -
Sonuç:
(a + b)^2 - \frac{1}{2}(a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - \frac{1}{2}(a^2 - 2ab + b^2)= a^2 + 2ab + b^2 - \frac{1}{2}a^2 + ab - \frac{1}{2}b^2= \frac{1}{2}a^2 + 3ab + \frac{1}{2}b^2
Yine de tam sayısal bir cevap için seçeneklerde doğru sonuç yer almıyor, çözüm daha dikkatli yeniden değerlendirilmelidir.