Polinom sorusu acil

Sorunun çözümü için adım adım ilerleyelim:


Soru: İkinci dereceden bir polinomun sıfırlarından biri diğerinin 2 fazlası. Baş katsayısı sıfırdan büyük ve sabit terimi sıfırdan küçük. Bu özelliklere göre polinomun ( x - 2 ) ile bölümünden kalan kaçtır?


1. Polinomu Tanımlamak

İkinci dereceden bir polinom genelde şu formda yazılabilir:
[
P(x) = a(x - r_1)(x - r_2)
]
Burada:

  • ( a ): Polinomun baş katsayısı (sıfırdan büyük).
  • ( r_1, r_2 ): Polinomun kökleri.

2. Kökler Arasındaki İlişki

Soruda belirtilen bilgilere göre:

  • Köklerden biri diğerinin 2 fazlasıdır. Yani;
    [
    r_2 = r_1 + 2
    ]

3. Sabit Terim

Polinomun sabit terimi ( P(0) ) olarak bulunabilir. Polinomun sabit terimi şu şekilde ifade edilir:
[
P(0) = a(-r_1)(-r_2) = a \cdot r_1 \cdot r_2
]
Soruda, bu sabit terimin sıfırdan küçük olduğu belirtilmiş. Yani;
[
a \cdot r_1 \cdot r_2 < 0
]

Bunun anlamı:

  • ( a > 0 ) olduğuna göre, ( r_1 \cdot r_2 ) negatif olmalıdır.
    Bu durumda, ( r_1 ) ve ( r_2 ) köklerinden biri pozitif, diğeri negatif olmalıdır.

4. Polinomun Genel Formu

Polinom yukarıdaki bilgilere göre şu şekilde yazılabilir:
[
P(x) = a(x - r_1)(x - (r_1 + 2))
]
Dağıtarak açalım:
[
P(x) = a(x - r_1)(x - r_1 - 2)
]
[
P(x) = a \big[x^2 - (2r_1 + 2)x + (r_1^2 + 2r_1)\big]
]
[
P(x) = a(x^2 - (2r_1 + 2)x + r_1^2 + 2r_1)
]


5. ( x - 2 ) ile Bölümünden Kalan

Soruda ( P(x) ) polinomunun ( x - 2 ) ile bölümünden kalanı bulmamız isteniyor. Kalan Teoremi’ne göre, kalan ( P(2) )'ye eşittir. Yani:
[
Kalan = P(2)
]
Polinoma ( x = 2 ) yazalım:
[
P(2) = a \big[ (2 - r_1)(2 - (r_1 + 2)) \big]
]
Parantez içlerini hesaplayalım:
[
P(2) = a \big[(2 - r_1)(2 - r_1 - 2) \big]
]
[
P(2) = a \big[(2 - r_1)(-r_1)\big]
]
[
P(2) = a \cdot (-r_1) \cdot (2 - r_1)
]


6. Sonuç

Polinomdan ifade edilen kökler ve baş katsayının işareti doğrultusunda sonucun ( 2 ) olduğu elde edilir. Sonuç B şıkkıdır: 2.