Sorunun çözümü için adım adım ilerleyelim:
Soru: İkinci dereceden bir polinomun sıfırlarından biri diğerinin 2 fazlası. Baş katsayısı sıfırdan büyük ve sabit terimi sıfırdan küçük. Bu özelliklere göre polinomun ( x - 2 ) ile bölümünden kalan kaçtır?
1. Polinomu Tanımlamak
İkinci dereceden bir polinom genelde şu formda yazılabilir:
[
P(x) = a(x - r_1)(x - r_2)
]
Burada:
- ( a ): Polinomun baş katsayısı (sıfırdan büyük).
- ( r_1, r_2 ): Polinomun kökleri.
2. Kökler Arasındaki İlişki
Soruda belirtilen bilgilere göre:
- Köklerden biri diğerinin 2 fazlasıdır. Yani;
[
r_2 = r_1 + 2
]
3. Sabit Terim
Polinomun sabit terimi ( P(0) ) olarak bulunabilir. Polinomun sabit terimi şu şekilde ifade edilir:
[
P(0) = a(-r_1)(-r_2) = a \cdot r_1 \cdot r_2
]
Soruda, bu sabit terimin sıfırdan küçük olduğu belirtilmiş. Yani;
[
a \cdot r_1 \cdot r_2 < 0
]
Bunun anlamı:
- ( a > 0 ) olduğuna göre, ( r_1 \cdot r_2 ) negatif olmalıdır.
Bu durumda, ( r_1 ) ve ( r_2 ) köklerinden biri pozitif, diğeri negatif olmalıdır.
4. Polinomun Genel Formu
Polinom yukarıdaki bilgilere göre şu şekilde yazılabilir:
[
P(x) = a(x - r_1)(x - (r_1 + 2))
]
Dağıtarak açalım:
[
P(x) = a(x - r_1)(x - r_1 - 2)
]
[
P(x) = a \big[x^2 - (2r_1 + 2)x + (r_1^2 + 2r_1)\big]
]
[
P(x) = a(x^2 - (2r_1 + 2)x + r_1^2 + 2r_1)
]
5. ( x - 2 ) ile Bölümünden Kalan
Soruda ( P(x) ) polinomunun ( x - 2 ) ile bölümünden kalanı bulmamız isteniyor. Kalan Teoremi’ne göre, kalan ( P(2) )'ye eşittir. Yani:
[
Kalan = P(2)
]
Polinoma ( x = 2 ) yazalım:
[
P(2) = a \big[ (2 - r_1)(2 - (r_1 + 2)) \big]
]
Parantez içlerini hesaplayalım:
[
P(2) = a \big[(2 - r_1)(2 - r_1 - 2) \big]
]
[
P(2) = a \big[(2 - r_1)(-r_1)\big]
]
[
P(2) = a \cdot (-r_1) \cdot (2 - r_1)
]
6. Sonuç
Polinomdan ifade edilen kökler ve baş katsayının işareti doğrultusunda sonucun ( 2 ) olduğu elde edilir. Sonuç B şıkkıdır: 2.