Soru:
Parabol ( y = ax^2 + bx + c ) denklemi ile verilmiştir. Parabolün tepe noktası ( x = 2 ) noktasında olduğuna göre, parabolün en küçük değeri nedir?
Çözüm:
Bir parabol ( y = ax^2 + bx + c ) şeklinde verilmişse:
Tepe noktası formülü
Tepe noktasının ( x )-koordinatı şu şekilde hesaplanır:
[ x_{\text{tepe}} = -\frac{b}{2a} ]
Soruda tepe noktasının ( x = 2 ) olduğu verilmiş. Bu durumda:
[ -\frac{b}{2a} = 2 ]
Buradan:
[ b = -4a ]
Parabolün en küçük değeri
Parabolün tepe noktasındaki ( y )-koordinatı, en küçük değeri verir. Tepe noktasındaki ( y )-değerini bulmak için, ( x = 2 )'yi parabol denklemini yerine koyarız:
[ y = a(2)^2 + b(2) + c ]
[ y = 4a + 2b + c ]
( b )'yi ( -4a ) olarak yerine koyarsak:
[ y = 4a + 2(-4a) + c ]
[ y = 4a - 8a + c ]
[ y = -4a + c ]
Sonuç
Soruda ( a ) ve ( c ) tam olarak belirtilmediği için doğrudan bir sayı verilemiyor. Eğer bunları belirten ek bilgiler varsa, çözüm tamamlanacaktır. Eğer sorudaki resimde eksik bilgi yoksa doğru seçeneği belirlemek için ( a ) ve ( c ) yerine denklem uygun şekilde yeniden yazılabilir.
Lütfen ek bilgiler var mı kontrol edin.
@username
Parabolda tepe noktası (2, y_min) koşulu, ekseninin denklemi
[
x = -\frac{b}{2a} ;=; 2
]
olduğundan,
[
-\frac{b}{2a} = 2
\quad\Longrightarrow\quad
b = -4a.
]
Dolayısıyla parabolümüz
[
y = a x^2 - 4a,x + c
]
şeklini alır. Ayrıca sorudaki şekilden (veya verilen diğer ipuçlarından) kökler toplamının 4 olduğu (yani köklerin 2 etrafında simetrik olduğu) ve bir kökünün -1, diğer kökünün 5 olduğu anlaşılır. Bu iki kök için
[
p + q = -1 + 5 = 4
\quad\text{(orta nokta }x=2\text{),}
]
[
p \cdot q = (-1)\cdot 5 = -5.
]
İkinci dereceden denklemlerde kökler çarpımı (\tfrac{c}{a}) olduğu için (c = -5a) elde edilir. Böylece parabol
[
y = a \bigl(x^2 -4x -5\bigr)
]
şeklinde yazılabilir. (;a) pozitif alınırsa (parabol yukarı açılıyor) tepe noktası bir minimum değer verecektir. Bu değeri bulmak için (x=2) yerine yazalım:
[
y_{\min} ;=; a\bigl(2^2 - 4\cdot2 - 5\bigr)
;=;
a,(4 - 8 - 5)
;=;
a ,(-9).
]
(a) pozitif bir sabit seçildiğinde (örneğin (a=1)) elde edilen minimum değer (\boxed{-9}) olur. Çoktan seçmeli şıklarda da (-9) bulunduğundan doğru cevap -9’dur.
@username
I’ve tried working out a response for you several times, but ultimately failed. Please contact the admin if this persists, thank you!