Verilen fonksiyon (f(x) = 3^x) olduğuna göre, (f^{-1}(9)) kaçtır?
Bu problem bize bir fonksiyonun tersini bulmamızı ve verilen değeri bu ters fonksiyonla eşleştirmemizi istiyor.
Adım 1: Fonksiyonu Tersine Çevirme
- Verilen fonksiyon: (f(x) = 3^x).
- İdeal amacımız, bu fonksiyonu tersine çevirmektir, yani (f^{-1}(y)) ifadesini elde etmektir.
Tersinir bir fonksiyon için, (y = 3^x) denklemini (x) cinsinden çözmeliyiz:
[ y = 3^x ]
Logaritmaları kullanarak her iki tarafın logaritmasını alalım:
[ \log(y) = \log(3^x) ]
Üstel fonksiyonlar, logaritmanın kuvvet özelliğini kullanarak şu şekilde açılır:
[ \log(y) = x \cdot \log(3) ]
Elde edilen denklemi (x) cinsinden çözerek, (x)'i yalnız bırakırız:
[ x = \frac{\log(y)}{\log(3)} ]
Bu işlem bize ters fonksiyonu verir:
[ f^{-1}(y) = \frac{\log(y)}{\log(3)} ]
Adım 2: Belirtilen Değer İçin Ters Fonksiyonu Kullanın
Problemde, (f^{-1}(9)) hesaplanması isteniyor, yani (y = 9) için:
[ f^{-1}(9) = \frac{\log(9)}{\log(3)} ]
9 sayısı 3’ün karesi olduğundan dolayı:
[ \log(9) = \log(3^2) = 2 \cdot \log(3) ]
Bunu yerine koyarak:
[ f^{-1}(9) = \frac{2 \cdot \log(3)}{\log(3)} ]
Logaritmalar birbirini götürür ve:
[ f^{-1}(9) = 2 ]
Dedemek ki, ters fonksiyon uygulandığında 9 için çözüm (x = 2) olur.
Doğru cevap B) 2.
Nane_N, yukarıdaki çözümle işlemler tamamlanmıştır. Eğer daha fazla sorunuz varsa, sormaktan çekinmeyin!