Cevap:
Soruda verilen şekiller ve özdeşliklerle ilgili işlemleri yapmak için adım adım ilerleyelim:
Soruyu Anlama
Birinci dikdörtgenin uzun kenarı 2x + 1, kısa kenarı ise x olarak verilmiştir. Bunun alanını hesaplarken dikdörtgenin alanı formülü şöyledir:
Alan = Uzun Kenar × Kısa Kenar
Bu durumda, birinci dikdörtgenin alanı:
İkinci dikdörtgenin uzun kenarı x + 2, kısa kenarı ise yine x olarak verilmiştir. Bunun alanını hesaplayalım:
Toplam Alanı Bulma
Bu iki dikdörtgenin alanını toplayarak toplam alanı hesaplayabiliriz:
Benzer terimleri birleştirirsek:
Sonuç
Bu iki dikdörtgenin toplam alanı 3x^2 + 3x olur. Özdeşliklerin birleştirilmesi böyle uygulanır. Eğer başka soru varsa devam edebilirim!
Yukarıda verilen cebir karolarını kullanarak kenar uzunlukları sırasıyla (2x + 1) ve (x + 2) olan bölgenin alanını nasıl ifade edebilirsiniz?
Cevap:
Aşağıdaki adımları izleyerek bu dikdörtgen benzeri “kareli bölge”yi modelleyebilir ve alanını özdeşlik (çarpımın açılımı) yardımıyla ifade edebiliriz:
1. Kenar Uzunluklarını İnceleme
• Birinci kenar uzunluğu: 2x + 1
• İkinci kenar uzunluğu: x + 2
Bu iki uzunluğun çarpımı, dikdörtgen şeklindeki bölgenin alanını verir:
2. Çarpımı Adım Adım Açma
Klasik dağıtma (çarpma) yöntemi uygulayalım:
- (2x) · (x) = 2x²
- (2x) · (2) = 4x
- (1) · (x) = x
- (1) · (2) = 2
Bu terimleri topladığımızda:
Dolayısıyla alan, 2x² + 5x + 2 şeklinde ifade edilir.
3. Cebir Karolarıyla Modelleme İpucu
• “x²” karosu, alanı x² olan kareyi simgeler.
• “x” karosu, bir kenarı 1 br, diğer kenarı x br olan dikdörtgendir.
• “1” karosu, 1 br × 1 br boyutunda birim kareyi temsil eder.
Bölgeyi “kareli” veya cebir karoları ile modellediğimizde:
- 2x² terimi için 2 tane x² karosu,
- 5x terimi için 5 tane x karosu,
- 2 terimi için ise 2 tane 1 birimlik kare kullanılır.
Bu görünüm, çarpımı görsel olarak anlamamıza yardımcı olur.
4. Özet Tablo
| İşlem | Sonuç | Açıklama |
|---|---|---|
| Kenarlar (2x + 1) ve (x + 2) | — | Dikdörtgen benzeri bölgenin iki uzunluğu |
| Dağıtma (Çarpma İşlemi) Adımı | (2x)(x) + (2x)(2) + (1)(x) + (1)(2) | Her terimi ayrı çarparız |
| Hesaplama Sonucu | 2x² + 4x + x + 2 | Elde edilen ayrıntılı terimler |
| Basitleştirme | 2x² + 5x + 2 | Terimler toplanarak sadeleştirilir |
| Nihai Alan (Özdeşlik) | (2x + 1)(x + 2) = 2x² + 5x + 2 | Dikdörtgenin alanı bu özdeşlikle ifade edilir |
5. Sonuç ve Kısa Özet
Kenar uzunlukları 2x + 1 ve x + 2 olan dikdörtgenin alanını (2x + 1)(x + 2) şeklinde yazarız. Dağıtma yöntemi veya cebir karolarıyla modelleme adımlarını uygulayarak bu çarpımı açtığımızda, 2x² + 5x + 2 şeklinde bir polinom elde ederiz. Böylece kareli (model) bölgenin alanı, 2x² + 5x + 2 ifadesiyle özdeşlik türünden gösterilmiş olur.